Малые углы: пластины, призмы

Используя мощную лазерную указку, осуществляют эксперимент, схема которого показана на рис. 3. На стекло одинарного стеклопакета (состоит из двух параллельно расположенных стёкол толщиной \(3-5\) мм) направляют лазерный луч сверху вниз под малым углом (порядка 0,1 рад) к поверхности стекла. При этом на масштабно-координатной бумаге (миллиметровке), которая лежит на подоконнике, наблюдают систему ярких пятен (см. рис. 4). Известно, что расстояние между первым (самым ярким) и вторым пятнами равно \(l_1 = 20\pm 2\) мм, а между следующими соседними \(l_2 = 19\pm2\) мм. Эти расстояния определяются по положению самой яркой области пятна. На рис. 5 показан сильно увеличенный фрагмент фотографии с рис 4, инвертированный (чёрное замененно на белое и наоборот) для удобства восприятия. Найдите по данным эксперимента расстояние \(D\) между внутренними поверхностями стёкол. Оцените погрешность полученного результата.

Возможно, при анализе эксперимента вам потребуется значение показателя преломления для стекла. Для разных марок стекла показатель преломления лежит в пределах от 1,4 до 1,7.

При падении света на границу раздела воздух-стекло (показатель преломления стекла равен \(n = 1{,}5\)) под малым углом к нормали доля, равная \(R = 4\,\%\), энергии падающего излучения отражается, а \(T = 96\,\%\) энергии проходит во вторую среду. При этом не важно, в какую сторону распространяется свет: из воздуха в стекло или из стекла в воздух.

К идеальному зеркалу (отражающему весь падающий свет) прислонили стеклянный клин (призму) размером \(d = 10\) см с малым углом \(\varphi = 0{,}06\) рад при вершине (см. рисунок). На призму падает лазерный луч, направленный по нормали к зеркалу. При этом на экране высотой \(H = 40\) см, расположенном параллельно зеркалу на расстоянии \(L = 1\) м от него, наблюдают несколько пятен разной яркости. Показатель преломления стекла равен \(n = 1{,}5\). Расстояние от лазерного луча до нижнего края экрана по вертикали равно \(h = 25\) см.

1. Найдите приближённо расстояние от верхнего края экрана до каждого пятна и подсчитайте долю энергии падающего излучения (в процентах, округлив до целых), приходящуюся на лучи, формирующие это пятно. Учтите, что приближённые соотношения: \(\sin\alpha \approx \alpha\) и \(\operatorname{tg}\alpha \approx \alpha\) с хорошей точностью выполняются даже для углов около 0,4 рад.

2. На какой угол следует повернуть зеркало с призмой в плоскости рисунка, чтобы на месте самого яркого пятна оказалось другое, следующее по яркости?

3. Компания Chrysler в 1958 г. использовала зеркало с призмой в качестве зеркала заднего вида с двумя режимами работы. С помощью специального рычажка его можно было перевести из «дневного» режима в «ночной», так чтобы свет фар автомобилей, едущих сзади, отражённый зеркалом, не слепил водителя. Объясните принцип работы такого автомобильного зеркала.

Две одинаковые призмы (\(\alpha = 30^\circ\), рис. 1), изготовленные из материала с показателем преломления \(n\), используют для изменения поперечного размера пучка параллельных лучей.

1. Для \(n = 1{,}73\) найдите угол \(\varphi\) между основаниями призм.

2. Найдите для произвольного \(n\) отношение \(\dfrac{d}{D}\). Какие значения может принимать \(n\)?

На шар из стекла с показателем преломления \(n = 1{,}5\) направили узкий пучок параллельных лучей, ось которого проходит через центр шара, и установили, что пучок фокусируется на оси на расстоянии \(f = 5\) см от точки, диаметрально противоположной точке падения (см. рис. (\(a\))). Затем шар разрезали на три части, как показано на рис. (\(б\)), удалили его середину и склеили два расположенных по бокам шаровых сегмента клеем с показателем преломления \(n\) (рис. (\(в\))). Каково фокусное расстояние \(F\) двояковыпуклой линзы, получившейся в результате этого? Эту линзу считайте тонкой.

Для наблюдения и фотографирования оптических неоднородностей в прозрачных средах часто применяют шлирен-метод (теневой метод), который может быть реализован по схеме, изображённой на рисунке. Две тонкие линзы \(L_1\) и \(L_2\) располагаются параллельно друг другу, так что их оптические оси совпадают. В фокусе одной линзы, в т. \(F_1\) находится точечный источник света. В фокальной плоскости другой линзы (т. \(F_2\)) располагается нож Фуко — большой прямоугольный непрозрачный экран \(K\) с острой кромкой, которая выступает над уровнем оптической оси на небольшое расстояние \(h\). Фокальная плоскость объектива фотоаппарата совпадает с фокальной плоскостью линзы \(L_2\).

A. Пусть между линзами располагается (как показано на рисунке) призма с малым преломляющим углом \(\varphi\) и показателем преломления \(n\). Фокусное расстояние линзы \(L_2\) равно \(f_2\). При каких значениях \(h\) на фотографии ничего не будет видно?

B. Призму заменяют на плоско-параллельную пластинку (см. рис. ниже) толщиной \(d\) и высотой \(H\) (\(d \ll H\)), показатель преломления которой линейно зависит от координаты \(y\): \(n(y) = n_0\left(1 + \dfrac{\alpha y}{H}\right)\), значения \(n_0\) и \(\alpha\) (\(\alpha \ll 1\)) считаются известными.

При каких значениях \(h\) в этом случае на фотографии ничего не будет видно?

C. Практически реализовать точечный источник света довольно трудно. Обычно на пути света, идущего от протяжённого источника \(S\) (рис. ниже) размещают диафрагму \(D\) — непрозрачный экран с маленьким отверстием диаметром \(d\) (\(d \ll f_1, f_2\)).

При каких значениях \(h\) на фотографии опять ничего не будет видно, если расстояние между линзами равно \(f_1 + f_2\)?

Рефрактометрия "— один из наиболее удобных способов определения концентрации примесей в жидкости путём измерения её показателя преломления.

Простейший рефрактометр представляет собой тубус (см. рисунок, представленный выше), на одном конце которого расположена призма с полированной скошенной гранью. На эту грань наносится капля исследуемой жидкости, которая затем прижимается к поверхности рассеивателем. Рассеиватель обеспечивает освещение жидкости под всеми углами. На другом конце тубуса находится окуляр. При наблюдении через окуляр при направлении яркого света на рассеиватель, видна шкала, часть которой освещена, а часть "— нет. Граница между освещённой и неосвещённой областями определяет показатель преломления жидкости, однозначно связанный с концентрацией примесей.

Принципиальная оптическая схема рефрактометра показана на рисунке, представленном ниже.

За призмой, внутри тубуса, расположена собирающая линза. В её фокальной плоскости находится полупрозрачный матовый экран со шкалой, рассматриваемый через окуляр. В простейшем варианте окуляр представляет собой одну линзу, а экран расположен в её фокальной плоскости. Предполагается отсутствие отражения света от зачернённой поверхности призмы.

Предположим, что необходимо спроектировать рефрактометр для измерения объёмной концентрации спирта в воде с пределом измерения 60%. Призма рефрактометра изготовлена из стекла с показателем преломления \(n = 1{,}500\).

1. Какова величина угла \(\beta\) при вершине призмы, если при помещении на скошенную грань призмы 30%-ного раствора спирта с показателем преломления \(n_{30} = 1{,}350\) граница освещённой области на экране пересекается с оптической осью линзы?

2. Рассчитайте длину шкалы \(d\) (см. рисунок) на полупрозрачном экране. Фокусное расстояние линзы \(F = 10\) см. Показатель преломления чистой воды \(n = 1{,}333\), 60%-ного раствора спирта "— \(n_{60} = 1{,}362\).

3. Шкала рефрактометра должна иметь цену деления 1%. Будем считать, что человеческому глазу комфортно различать предметы на далёком расстоянии, если угловое расстояние между ними не менее \(\varphi = 15'\) (15 угловых минут). Рассчитайте максимально возможное фокусное расстояние окуляра \(F_{\max}\).

На рис. 6 приведена фотография листа с текстом олимпиадного задания, на котором лежит прозрачная призма с сечением в форме равностороннего треугольника. Снимок сделан с большого расстояния длиннофокусным объективом, оптическую ось которого старались ориентировать перпендикулярно плоскости листа. Увеличенное изображение этой фотографии приведено на листе 4, см. рис. 8.

1. Используя линейку, определите по фотографиям показатель преломления материала призмы с наилучшей возможной точностью.

Увеличенная фотография (рис. 8):