Стопка стеклянных пластинок

Основная трудность, возникающая при решении этой задачи, связана с тем, что свет может многократно отражаться от поверхностей пластинок внутри стопки. Поэтому для того, чтобы найти ответ, нужно получить рекуррентную формулу, показывающую, как изменяется коэффициент пропускания стопки из \(n\) пластинок при добавлении к ней ещё одной пластинки.

Пусть стопка из \(n\) пластинок имеет коэффициент пропускания \(T_n\). Добавим к ней ещё одну пластинку, получив, таким образом, «составную» стопку из \(n + 1\) пластинки. Пусть на полученную стопку падает волна с интенсивностью \(a\). Обозначим интенсивности волн, распространяющихся снаружи и внутри нашей «составной» стопки, так, как показано на рисунке 4.28. Учитывая, что \(R_n = 1 - T_n\), получим систему уравнений:

\[\begin{array}{l} a_2 = Ta_1;\\ b_1 = (1 - T)a_1;\\ a_1 = T_na + (1 - T_n)b_1;\\ b_2 = (1 - T_n)a + T_nb_1. \end{array}\] Решая её, найдём: \[\dfrac{a}{a_2} = \dfrac{1}{T_{n+1}} = \dfrac{1}{T_n} + \dfrac{1 - T}{T}.\] Это и есть искомая рекуррентная формула. Из неё можно получить явную зависимость коэффициента пропускания \(T_n\) от числа пластинок \(n\) в стопке. Действительно, если пластинок в стопке всего две (\(n + 1 = 2\)), то \[\dfrac{1}{T_2} = \dfrac{1}{T} + \dfrac{1 - T}{T}.\] Далее, при \(n + 1 = 3\): \[\dfrac{1}{T_3} = \dfrac{1}{T_2} + \dfrac{1 - T}{T} = \dfrac{1}{T} + 2\dfrac{1 - T}{T}.\] Продолжая аналогичные выкладки, для стопки из \(n\) пластинок получим: \[\dfrac{1}{T_n} = \dfrac{1}{T} + (n - 1)\dfrac{1 - T}{T} = \dfrac{T + n(1 - T)}{T},\] откуда \[T_n = \dfrac{T}{T + n(1 - T)} = \dfrac{T}{T + nR} = \dfrac{0{,}92}{0{,}92 + 0{,}08n}.\]