Водяная линза

Без силы тяжести форму капли определяет поверхностное натяжение: свободная поверхность — часть сферы. Найдите её радиус из объёма и радиуса основания, затем примените закон преломления для параксиального луча на одной сферической поверхности.

\(f\approx 4{,}8\) см.

Форма капли. Так как влиянием силы тяжести можно пренебречь, форму капли определяет поверхностное натяжение, которое минимизирует площадь поверхности при заданном объёме. Фигура наименьшей площади для заданного объёма — шар; поскольку капля соприкасается с плоским стеклом, свободная поверхность капли — часть сферы, и капля представляет собой сферический сегмент.

Геометрия. Так как капля невысокая (\(h\ll r\)), её объём приближённо равен \(V\approx\frac12\pi r^2h\), где \(h\) — высота капли. Отсюда \(h=2V/(\pi r^2)\approx0{,}32\) см. Радиус кривизны выпуклой поверхности: \(R\approx r^2/(2h)\approx1{,}6\) см.

Фокусное расстояние. Капля действует как плосковыпуклая линза: снизу плоская, сверху сферически выпуклая. Рассмотрим луч, падающий параллельно оптической оси на высоте \(x\ll R\) от оси. Нормаль к сферической поверхности составляет с осью угол \(\theta\approx x/R\). По закону Снеллиуса луч при пересечении поверхности преломляется на угол \(\delta\approx(n-1)\theta=(n-1)x/R\) в сторону оси. Луч пересекает ось на расстоянии \[f=\frac x\delta=\frac R{n-1}=\frac{1{,}6}{0{,}33}\approx4{,}8\text{ см}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.