Движение источника света

Свет проходит линзу дважды: сначала в прямом направлении, затем после отражения от зеркала. Так как \(d=f/2\), положение окончательного изображения получается очень простой функцией от \(a\); скорость найдите, сравнив малые изменения \(a\) и положения изображения.

\(v_k\approx 0{,}11\) м/с; изображение удаляется от линзы.

На рисунке: allikas — источник, lääts — линза, peegel — зеркало.

1. Положение изображения в начальный момент.

При первом прохождении через линзу выполняется формула линзы \[\frac1f=\frac1a+\frac1{b_1},\qquad \frac1{10}=\frac1{30}+\frac1{b_1},\qquad b_1=15\text{ см}.\] Это изображение находится относительно зеркала на расстоянии \(b_1-d=15-5=10\) см за зеркалом.

Плоское зеркало создаёт изображение на таком же расстоянии перед зеркалом, поэтому для второго прохождения расстояние до предмета равно \[a_2=2d-b_1=10-15=-5\text{ см}.\] При втором прохождении через линзу \[\frac1f=\frac1{a_2}+\frac1{b_2},\qquad \frac1{10}=\frac1{-5}+\frac1{b_2},\qquad b_2=\frac{10}{3}\text{ см}\approx 3{,}33\text{ см}.\]

Связь расстояния \(x\) до изображения и расстояния \(a\) до источника света. Пусть источник света находится на расстоянии \(a\) от линзы.

1) Первое прохождение через линзу: \[\frac1f=\frac1a+\frac1{b_1}\;\Rightarrow\; b_1=\frac{af}{a-f}.\] 2) Отражение от плоского зеркала: \[a_2=2d-b_1=2d-\frac{af}{a-f}.\] 3) Второе прохождение через линзу: \[\frac1f=\frac1{a_2}+\frac1{b_2}\;\Rightarrow\; b_2=\frac{fa_2}{a_2-f}.\] 4) В данной задаче \(d=f/2\), откуда \[a_2=-\frac{f^2}{a-f}\;\Rightarrow\; b_2=\frac{f^2}{a}.\] Итак, \[x=b_2=\frac{f^2}{a}=\frac{100}{a}.\]

2. Скорость движения изображения.

В общем случае справедливо соотношение \(x=100/a\). Рассмотрим малый промежуток времени: \(a\to a-\Delta a\), \(x\to x+\Delta x\). Тогда \[(a-\Delta a)(x+\Delta x)=100.\] Так как вначале \(ax=100\), то \[(a-\Delta a)(x+\Delta x)=ax,\qquad a\,\Delta x-x\,\Delta a-\Delta a\,\Delta x=0.\] При малых изменениях получаем \(a\,\Delta x=x\,\Delta a\). Выражая скорость изображения \(v_k\), находим \[v_k=\frac{x}{a}\,v\approx 0{,}11\text{ м/с}.\] Поскольку \(a\) уменьшается, \(x\) увеличивается, то есть изображение движется от линзы.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.