Квадрат и линза

Отношение \(a/b\) для сторон \(AD\) и \(BC\) связано с тем, что изображение представляет собой трапецию: сторона \(AD\) находится ближе к линзе, чем \(BC\), и при той же высоте предмета их увеличения обратно пропорциональны.

Построением находим, что изображение квадрата — прямоугольная трапеция высотой, равной стороне предмета \(x\). Пусть \(a\) и \(b\) — расстояния от линзы до предмета и изображения для стороны \(AD\), тогда для стороны \(BC\) расстояния равны \(a + x\) и \(b - x\). Формулы тонкой линзы для обеих сторон дают \(ab = (a+x)(b-x)\), откуда \(x = b - a\).

Увеличение для стороны \(BC\): \(\Gamma_1 = \dfrac{a+x}{b-x} = \dfrac{b}{a}\). Для стороны \(AD\): \[\Gamma_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{\Gamma_1} = 1{,}250.\]

Длина стороны \(C'D'\) по теореме Пифагора: \[C'D' = a\sqrt{1 + (\Gamma_2 - \Gamma_1)^2} = a\sqrt{1 + \left(\frac{1}{\Gamma_1} - \Gamma_1\right)^2},\] поэтому \[\Gamma_3 = \frac{C'D'}{CD} = \sqrt{1 + \left(\frac{1}{\Gamma_1} - \Gamma_1\right)^2} \approx 1{,}097.\]

Площадь изображения — площадь трапеции с высотой \(x\) и полусуммой оснований: \(S' = \dfrac{x^2}{2}\left(\Gamma_1 + \dfrac{1}{\Gamma_1}\right)\), откуда \[k = \frac{S'}{S} = \frac{\Gamma_1 + 1/\Gamma_1}{2} = 1{,}025.\]