Нецентральное соударение шаров

Ось \(OY\) направьте перпендикулярно линии центров: вдоль неё при ударе импульс не передаётся. Далее задача сводится к лобовому удару с проекциями скоростей.

Ось \(OX\) направим вдоль линии центров шаров в момент удара, ось \(OY\) — перпендикулярно ей. Сила взаимодействия гладких шаров направлена вдоль \(OX\), поэтому проекции скоростей на \(OY\) не меняются. Начальная скорость первого шара составляет угол \(\varphi = 30^\circ\) с осью \(OX\), и после удара первый шар движется перпендикулярно своему первоначальному направлению, поэтому \[v_0 \sin\varphi = v_1 \cos\varphi \quad\Rightarrow\quad v_1 = v_0\,\mathrm{tg}\,\varphi = \frac{v_0}{\sqrt{3}} = 5{,}0\ \text{м/с}.\]

Центральный удар двух шаров с противоположными скоростями \(u_1\), \(u_2\) при упругом взаимодействии в системе центра масс сохраняет модули скоростей. Возвращаясь в лабораторную систему, получаем для проекций на \(OX\) систему \[\begin{cases} v_1 \sin\varphi = v_0\cos\varphi - 2v_{цм}, \\ v_{2x} = v_0\cos\varphi + 2v_{цм}, \end{cases} \qquad v_{цм} = v_0\cos\varphi\,\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}.\] Первое уравнение даёт \(\dfrac{v_0}{2\sqrt{3}} = \dfrac{v_0\sqrt{3}}{2}\left(1 - 2\dfrac{k-1}{k+1}\right)\), где \(k = m_1/m_2\); отсюда \(k = 2\).

Для второго шара \(v_{2x} = \dfrac{v_0\sqrt{3}}{2}\left(1 + 2\dfrac{k-1}{k+1}\right) = \dfrac{5v_0}{2\sqrt{3}}\), а проекция на \(OY\) равна \(v_{2y} = -v_0\sin\varphi = -\dfrac{v_0}{2}\). Тогда \[v_2 = v_0\sqrt{\left(\frac{5}{2\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = v_0\sqrt{\frac{7}{3}} \approx 13{,}3\ \text{м/с}.\] Угол поворота вектора скорости второго шара: \[\alpha = 60^\circ + \mathrm{arctg}\,\frac{v_{2x}}{|v_{2y}|} = 60^\circ + \mathrm{arctg}\,\frac{5}{\sqrt{3}} \approx 131^\circ.\] Проверка через закон сохранения энергии и импульса в земной системе даёт те же \(k = 2\) и \(v_2 = v_0\sqrt{7/3}\).