Задачи › Равновесие тел, моменты сил

Стержень на двух опорах

  1. Стержень на двух опорах

    ВсОШ 2025/26, 10 кл.
    5/10

    Если одно тело контактирует с другим по протяжённой поверхности, то воздействие первого тела на второе часто невозможно описать только равнодействующей всех элементарных сил в точках контакта. Помимо равнодействующей требуется учитывать ещё и суммарный момент этих элементарных сил. При рассмотрении воздействия одной части твёрдого тела на другую элементарные силы являются силами деформации, их в совокупности также можно заменить равнодействующей силой и вращающим моментом.

    Однородный тонкий стержень массой \(m = 10\) кг и длиной \(l = 1\) м покоится горизонтально на двух опорах, как показано на рисунке. Стержень штрихами разделён на 5 частей одинаковой длины. Две левые части стержня, закрашенные на рисунке, назовём телом «А», а три другие части — телом «Б». Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

    Рисунок

    1. Какова масса тела «А»? Дайте ответ в кг с округлением до десятых долей. (1 балл)

    2. С какой силой \(F_А\) тело «А» действует на левую опору? Дайте ответ в ньютонах с округлением до целого числа. (2 балла)

    3. С какой силой \(F_{АБ}\) тело «Б» действует на тело «А» в точке \(C\) их соприкосновения? Дайте ответ в ньютонах с округлением до целого числа. (3 балла)

    4. Какой момент сил \(M_{АБ}\) действует на тело «А» со стороны тела «Б»? Дайте ответ в Н\(\cdot\)м с округлением до целого числа. (4 балла)

    Условие приведено для варианта 1 (\(m = 10\) кг, \(l = 1\) м), как в тексте PDF. Значения \(m\) и \(l\) для вариантов 2–5 — в матрице параметров исходного файла.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Опоры симметричны относительно центра масс стержня, поэтому они делят силу тяжести поровну. Для тела «А» запишите равновесие сил и моментов относительно точки \(C\).

    Ответ

    1) \(m_А = 4{,}0\) кг;  2) \(F_А = 50\) Н;  3) \(F_{АБ} = 10\) Н;  4) \(M_{АБ} = 2\) Н\(\cdot\)м.

    Решение

    Масса тела «А» составляет две пятых стержня: \(m_А = \dfrac{2}{5}m = 4\) кг.

    Опоры расположены симметрично относительно центра масс стержня, поэтому каждая из них действует на стержень с силой, равной половине силы тяжести стержня: \(F_А = F_Б = \dfrac{mg}{2} = 50\) Н.

    Тело «Б» тянет тело «А» вниз. Равенство нуля суммы сил, действующих на тело «А»: \[F_А - m_А g - F_{АБ} = 0, \qquad F_{АБ} = \frac{mg}{2} - \frac{2}{5}mg = \frac{mg}{10} = 10\ \text{Н}.\]

    Уравнение моментов для тела «А» относительно точки \(C\) (по часовой стрелке положительно): \[0 = M_{АБ} - m_А g\frac{l}{5} + F_А\frac{l}{5}.\] Отсюда \(M_{АБ} = \dfrac{l}{5}\left(m_А g - F_А\right) = -\dfrac{mgl}{50}\). Знак минус означает, что момент направлен против часовой стрелки; модуль \(\dfrac{mgl}{50} = 2\) Н\(\cdot\)м.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх