Задачи › Баллистика: бросок под углом

Два камня

  1. Два камня

    ВсОШ 2025/26, 10 кл.
    4/10

    Два камня бросают одновременно навстречу друг другу с одинаковыми начальными скоростями \(v_0\) вдоль прямой, наклонённой под углом \(\alpha = 30^\circ\) к горизонту. Первый камень бросают с горизонтальной поверхности земли, а второй — с высоты \(h = 100\) м (см. рисунок). На землю камни падают одновременно. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

    Рисунок

    1. Найдите время \(t\) полёта камней. Дайте ответ в секундах с округлением до сотых долей. (2 балла)

    2. Найдите скорость \(v_0\). Дайте ответ в м/с с округлением до десятых долей. (2 балла)

    3. Чему равен модуль вектора перемещения первого камня \(S_1\) за время его полёта? Дайте ответ в метрах с округлением до целого числа. (2 балла)

    4. Чему равен модуль вектора перемещения второго камня \(S_2\) за время его полёта? Дайте ответ в метрах с округлением до целого числа. (2 балла)

    5. На каком расстоянии \(S\) друг от друга приземляются камни? Дайте ответ в метрах с округлением до десятых долей. (2 балла)

    Условие приведено для варианта 1 (\(\alpha = 30^\circ\), \(h = 100\) м), как в тексте PDF. Параметры вариантов 2–5 — в матрице исходного файла.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Запишите законы движения обоих камней по вертикали: второй камень падает с высоты \(h\), а первый бросается вверх. Сравните время полёта и горизонтальные смещения.

    Ответ

    1) \(t = 3{,}16\) с;  2) \(v_0 = 31{,}6\) м/с;  3) \(S_1 = 87\) м;  4) \(S_2 = 132\) м;  5) \(S = 0{,}0\) м.

    Решение

    Выберем ось \(OY\) вертикально. По вертикали первый камень проходит путь \(0\), второй — путь \(h\): \[0 = v_0\sin\alpha\cdot t - \frac{gt^2}{2}, \qquad 0 = h - v_0\sin\alpha\cdot t - \frac{gt^2}{2}.\] Сложив уравнения, получаем \(t = \sqrt{\dfrac{h}{g}} = \sqrt{10} \approx 3{,}16\) с.

    Подставив время в первое уравнение, находим \[v_0 = \frac{gt}{2\sin\alpha} = \frac{\sqrt{gh}}{2\sin\alpha} \approx 31{,}6\ \text{м/с}.\]

    Горизонтальная проекция перемещения первого камня: \[S_1 = v_0\cos\alpha\cdot t = \frac{h\,\mathrm{ctg}\,\alpha}{2} \approx 87\ \text{м}.\]

    Проекция перемещения второго камня на горизонталь по модулю равна \(S_1\) (времена полёта и горизонтальные скорости совпадают), по вертикали — \(h\). Поэтому \[S_2 = \sqrt{S_1^2 + h^2} = \frac{h}{2}\sqrt{4 + \mathrm{ctg}^2\alpha} \approx 132\ \text{м}.\]

    Расстояние между точками падения: \(S = h\,\mathrm{ctg}\,\alpha - S_1 - |S_{2x}| = 0\), то есть камни падают в одну точку.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх