Прыжок банджи

В нижней точке вся потенциальная энергия прыгуна переходит в энергию растяжения каната; в этой точке ускорение максимально и задаёт силу каната. Складывание каната вдвое уменьшает его длину в два раза, а жёсткость увеличивает в два раза.

а) примерно на \(33{,}3\,\%\);  б) \(75\) м.

а) Обозначим жёсткость каната \(k\), длину \(l\), изменение длины \(\Delta l\). В нижней точке прыжка выполняется равенство \(\frac12k\,\Delta l^2=mgh=mg(l+\Delta l)\). Так как наибольшее ускорение, которое испытывала Туули, было \(7g\), то в этой точке эластичный канат тянул с силой \(8mg\), то есть \(k\,\Delta l=8mg\). Подставляя это в первое равенство и упрощая, получаем \(3\,\Delta l=l\), то есть канат растянулся примерно на \(33{,}33\,\%\).

б) Обозначим жёсткость каната \(k/2\), поскольку канат больше не сложен пополам, длину \(L=2l=6\,\Delta l\) и изменение длины \(\Delta L\). В нижней точке прыжка выполняется равенство \[\frac12\cdot\frac k2\,\Delta L^2=mgH=mg(L+\Delta L)=mg(6\,\Delta l+\Delta L).\] Подставляя найденное ранее значение \(k\) (из пункта а), получаем квадратное уравнение \[2\,\Delta L^2-\Delta L\,\Delta l-6\,\Delta l^2=0,\] из которого получаем \((2\,\Delta L+3\,\Delta l)(\Delta L-2\,\Delta l)=0\). Так как речь идёт о длине каната, рассматриваем положительный случай \(\Delta L=2\,\Delta l\). Из условия известно, что \(L+\Delta L=6\,\Delta l+2\,\Delta l=8\,\Delta l=100\) м \(\Rightarrow\) \(\Delta l=12{,}5\) м. То есть начальная длина каната была \(6\,\Delta l=75\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.