Микрофон

Колебания пластины слегка меняют ёмкость, а значит и напряжение на конденсаторе; напряжение на резисторе (его и показывает вольтметр) затем релаксирует с характерным временем \(CR\). Сравните его с \(T\).

(а) прямоугольные импульсы с размахом \(\pm U\dfrac{CR}{T}\dfrac hd\) (знак зависит от направления движения пластины);  (б) пилообразная кривая, повторяющая \(x(t)\), с максимумом \(U\dfrac hd\).

Ёмкость плоского конденсатора \(C=\varepsilon_0S/d=k/d\), где площадь пластин \(S\) постоянна, а константы мы объединили: \(k=\varepsilon_0S\). Так как расстояние между пластинами \(d\gg h\), можно считать ёмкость плоского конденсатора в крупном масштабе постоянной, поэтому и изменение напряжения мало по сравнению с полным напряжением. Отсюда получаем (приближённый) заряд, накопленный на пластинах конденсатора: \(q_0=CU=kU/d\).

С другой стороны, нужно учитывать именно изменение напряжения, возникающее из-за изменения ёмкости: пусть в данный момент времени заряд конденсатора равен \(q=q_0+\Delta q\) (\(\Delta q\) — изменение заряда от начального состояния), а ёмкость конденсатора \(C_1\); тогда напряжение на конденсаторе равно \[V=\frac q{C_1}=(q_0+\Delta q)\cdot\frac{d+x}{k}=U+\frac{\Delta q\,d+q_0x}k+\frac{\Delta q\,x}k.\] Так как \(x\ll d\) и \(\Delta q\ll q_0\), последним слагаемым можно пренебречь. Напряжение на резисторе определяется разностью напряжений конденсатора и источника напряжения, поэтому для падения напряжения получаем \[\Delta V=V-U\approx\frac{\Delta q\,d+q_0x}k=\frac{\Delta q+q_0\dfrac xd}C.\] Соответствующее падение напряжения измеряет и вольтметр, подключённый параллельно резистору.

Предположим, что некоторое время \(x\) постоянно, а падение напряжения на резисторе \(\Delta V\) (меняется). Тогда через резистор течёт ток \(dq/dt=-I=-\Delta V/R\), поэтому напряжение на резисторе меняется так: \[\frac{d(\Delta V)}{dt}=\frac{dq}{dt}\cdot\frac1C=-\Delta V\,\frac1{CR}.\] Следовательно, падение напряжения уменьшается пропорционально величине падения напряжения, то есть убывает экспоненциально. Конкретное решение: \[\Delta V=[\Delta V]_{t=0}\cdot e^{-t/(CR)}.\] Отсюда видно, что \(\Delta V\) уменьшается в \(e\) раз через каждый промежуток времени \(\tau=CR\), который называется характерным временем цепи.

(а) Если \(T\gg CR\), то рассматриваем изменение напряжения в масштабе короткого времени \(CR\). Так как \(x\) изменяется за время \(T\gg CR\), считаем его постоянным. Любое возникшее на резисторе изменение напряжения за (несколько) характерных времён \(\tau\sim CR\ll T\) становится ничтожным (экспоненциально уменьшается). Поэтому на резисторе остаётся ровно такое постоянное падение напряжения, при котором рост падения напряжения, вызванный изменением \(x\), и его уменьшение из-за разрядки/зарядки конденсатора находятся в равновесии:

Замечание: напряжение не скачет мгновенно, а за короткое время приближается к указанному значению с обратным экспоненциальным отклонением.

\[0=\frac{d\Delta V}{dt}=-\Delta V\,\frac1{CR}+\frac{q_0}{Cd}\cdot\frac{dx}{dt}=-\Delta V\,\frac1{CR}\pm\frac{Uh}{Td},\] \[\Delta V=\pm U\,\frac{CR}T\,\frac hd.\]

(б) Если \(T\ll CR\), то напряжение из-за протекающего через резистор тока почти не успевает измениться (длина целого цикла намного меньше характерного времени), поэтому напряжение на резисторе меняется только пропорционально \(x\). Получаем для амплитудного значения падения напряжения \[V_{\max}=\frac{q_0\dfrac hd}C=\frac{CUh}{Cd}=U\,\frac hd.\] Замечание: если измерять напряжение в течение короткого времени после включения звука, график приблизительно такой, как показан на рисунке ниже; однако через длительное время система приходит в состояние, в котором среднее значение напряжения равно 0 — правильными засчитывались оба варианта.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.