Бесплатное электричество

Из измерений без нагревателя найдите сопротивление провода и напряжение подстанции. Нагреватель между нулём и землёй оказывается параллельным нулевому проводу; мощность на нём — дробь с квадратом в знаменателе, максимум ищите через неравенство \(y+1/y\ge 2\).

а) \(R_k\approx 0{,}75\) Ом, \(P_{\max}\approx 86\) Вт;  б) \(P\approx 300\) Вт.

Подстанция даёт на конце фазного провода напряжение \(U_0\) относительно земли; нулевой провод на подстанции заземлён (0 В). У обоих проводов сопротивление \(R\). Нагрузочное сопротивление дома \(R_L\) подключено между фазой A и нулём B. Заземляющий провод дома идеально заземлён.

На рисунке: maandus — земля (заземление).

Шаг 1. Нагреватель \(R_k\) отключён.

Без нагревателя цепь представляет собой последовательное соединение: подстанция (\(U_0\)) \(\to\) фазный провод (\(R\)) \(\to\) домашние приборы (\(R_L\)) \(\to\) нулевой провод (\(R\)) \(\to\) подстанция.

Ток: \(I=P/U_{FN}=4200/210=20\) А.

Падение напряжения на нулевом проводе: \(U_{NM}=IR\), поэтому \(R=16/20=0{,}80\) Ом.

Напряжение подстанции: \(U_0=U_{FN}+2U_{NM}=210+32=242\) В.

Сопротивление домашних приборов: \(R_L=U_{FN}/I=10{,}5\) Ом.

Шаг 2. Подключение нагревателя \(R_k\).

\(R_k\) и нулевой провод \(R\) соединены параллельно (оба соединяют нулевую клемму с землёй). Сопротивление параллельного соединения: \(R_\parallel=RR_k/(R+R_k)\).

Вся цепь — последовательное соединение: \(U_0\to R\to R_L\to R_\parallel\to\) земля.

Ток: \(I=U_0/(R+R_L+R_\parallel)\). Напряжение на нулевой клемме: \(V=I\cdot R_\parallel\). Мощность нагревателя: \(P_k=V^2/R_k\).

Подставляем и выражаем: \[P_k=\frac{I^2R_\parallel^2}{R_k}=\frac{U_0^2R^2R_k}{\bigl[R(R+R_L)+(2R+R_L)R_k\bigr]^2}.\] Обозначим \(A=R(R+R_L)\) и \(B=2R+R_L\). Тогда \[\frac1{P_k}=\frac{AB}{U_0^2R^2}\left(\frac A{BR_k}+2+\frac{BR_k}A\right)=\frac{AB}{U_0^2R^2}\left(y+\frac1y+2\right),\] где \(y=BR_k/A\). Справедливо соотношение \(y+1/y\ge2\), причём равенство выполняется ровно при \(y=1\). Следовательно, \(P_k\) максимальна, когда \(1/P_k\) минимально, т. е. при \(y=1\) и \(R_k=A/B\): \[R_k=\frac{R(R+R_L)}{2R+R_L}=\frac{0{,}80\times11{,}3}{12{,}1}=0{,}75\text{ Ом}.\] \[P_{\max}=\frac{U_0^2R^2}{4AB}=\frac{242^2\times0{,}64}{4\times9{,}04\times12{,}1}\approx86\text{ Вт}.\] Замечание. Выражение для \(R_k\) можно найти и с помощью производной, рассматривая \(P_k\) как функцию от \(R_k\) и находя её максимум.

Шаг 3. Нулевой провод обрывается.

Единственный обратный путь — через \(R_k\). Последовательное соединение: \(U_0\to R\to R_L\to R_k\to\) земля. \[I=\frac{U_0}{R+R_L+R_k}=\frac{242}{12{,}05}=20{,}1\text{ А},\qquad P_k=I^2R_k=20{,}1^2\times0{,}75\approx300\text{ Вт}.\] Комментарий. При обрыве нулевого провода мощность нагревателя увеличивается в 3,5 раза: весь ток теперь идёт только через \(R_k\). «Бесплатная» энергия Пирет вовсе не бесплатна — она поступает от подстанции и отражается на электросчётчике.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.