Нагреватель из четырёх спиралей

При каком внешнем сопротивлении мощность во внешней цепи максимальна? Как из четырёх сопротивлений набрать это значение, и не превысит ли мощность отдельной спирали 2 Вт?

Нужно сопротивление нагревателя \(R=r=25\) Ом: две цепочки из спиралей \(10+40\) Ом и \(20+30\) Ом (по 50 Ом) включить параллельно. Мощность в нагревателе 4 Вт, на каждой спирали не больше 1,6 Вт.

Что происходит. Мощность во внешней цепи \(P=I^2R\) зависит от внешнего сопротивления \(R\): при малом \(R\) мал множитель \(R\), при большом мал ток. Максимум — при \(R=r\). Остаётся набрать из спиралей 25 Ом и проверить, что ни одна не перегреется.

Обозначения. \(R\) — сопротивление нагревателя, \(r=25\) Ом, \(\mathcal{E}=20\) В, \(I\) — ток в источнике.

1. Максимум мощности. Закон Ома для полной цепи: \(I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}\), мощность во внешней цепи \[P=I^2R=\frac{\mathcal{E}^2R}{(R+r)^2}=\frac{\mathcal{E}^2}{R+\dfrac{r^2}{R}+2r}.\] По неравенству о среднем \(R+\dfrac{r^2}{R}\ge2r\), равенство при \(R=r\), поэтому знаменатель минимален, а \(P\) максимальна при \(R=r\): \[P_{\max}=\frac{\mathcal{E}^2}{4r}=\frac{400}{100}=4\text{ Вт}.\]

2. Набор 25 Ом. Две цепочки \(10+40=50\) Ом и \(20+30=50\) Ом, включённые параллельно, дают \(\dfrac{50\cdot50}{50+50}=25\) Ом.

3. Токи и мощности. Ток в источнике \(I=\dfrac{20}{25+25}=0{,}4\) А, по каждой цепочке \(0{,}2\) А (цепочки одинаковы). Мощности спиралей \(I^2R\) при \(I=0{,}2\) А: \(0{,}4\) Вт, \(0{,}8\) Вт, \(1{,}2\) Вт, \(1{,}6\) Вт для 10, 20, 30, 40 Ом — ни одна не превышает 2 Вт.

Обратите внимание: другие способы дают сопротивление, отличное от 25 Ом, и меньшую мощность. Например, \((10+30)\parallel(20+40)=24\) Ом допустимо по мощностям спиралей, но даёт \(3{,}998\) Вт — чуть меньше. Перебор всех последовательно-параллельных соединений подтверждает, что точное максимальное значение \(4\) Вт при допустимых мощностях даёт только схема на рисунке.

Ответ. Включить параллельно две цепочки: \(10\text{ Ом}+40\text{ Ом}\) и \(20\text{ Ом}+30\text{ Ом}\); \(R=25\) Ом \(=r\), мощность \(4\) Вт.

Проверка. Размерность: \(\mathcal{E}^2/R\) — ватт. На графике максимум \(P(R)\) при \(R=25\) Ом равен \(4\) Вт; при \(R=24\) и \(26\) Ом мощность \(3{,}998\) Вт — вблизи максимума график плоский. Мощность источника целиком: \(I^2(R+r)=0{,}16\cdot50=8\) Вт — вдвое больше мощности нагревателя; половина тепла выделяется внутри самого источника, как и должно быть при \(R=r\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.