Линза в отверстии ящика

Оптическая сила 1 дптр — фокусное расстояние 1 м, то есть дно ящика — фокальная плоскость линзы. Сравните, из какого телесного угла неба приходит свет на малую площадку дна в обоих случаях.

Не изменится.

Что происходит. Пелена облаков светит одинаково по всем направлениям: ей можно приписать одну яркость \(B\) — световой поток на единицу площади площадки в единичном телесном угле. Освещённость малой площадки равна \(B\,\Omega\), где \(\Omega\) — телесный угол, из которого на неё приходит свет. Без линзы \(\Omega\) определяет отверстие, с линзой — участок неба, изображение которого лежит на площадке.

Обозначения. \(S_{\text{отв}}\) — площадь отверстия (и линзы), \(h=1\) м, \(E_1\) и \(E_2\) — освещённость дна под отверстием без линзы и с линзой, \(f=1/D=1\) м \(=h\) — фокусное расстояние линзы.

1. Без линзы. Площадка на дне под центром отверстия видит небо через отверстие под телесным углом \(\Omega=S_{\text{отв}}/h^2\) (углы малы, лучи почти перпендикулярны площадке): \[E_1=B\,\Omega=B\,\frac{S_{\text{отв}}}{h^2}.\]

2. С линзой. Дно находится в фокальной плоскости, потому что \(f=h\). Параллельный пучок от каждого направления неба собирается в одну точку фокальной плоскости; точка на дне, смещённая на \(x\approx f\theta\) от центра, получает свет только с направления \(\theta\). Поэтому площадке \(S\) на дне соответствует участок неба с телесным углом \(\omega=S/f^2\). Весь свет этого участка, прошедший через отверстие, попадает на площадку: поток \(\Phi=B\,\omega\,S_{\text{отв}}\) (потерями в линзе пренебрегаем). Освещённость \[E_2=\frac{\Phi}{S}=B\,\frac{S}{f^2}\cdot\frac{S_{\text{отв}}}{S}=B\,\frac{S_{\text{отв}}}{f^2}=B\,\frac{S_{\text{отв}}}{h^2}.\]

3. Сравнение. \(E_2=E_1\).

Обратите внимание: линза собирает свет в точку, но и берёт его из узкого телесного угла; яркость изображения неба на дне равна яркости самого неба, и освещённость не растёт. Результат верен именно потому, что \(f=h\): дно — в фокальной плоскости.

Ответ. Освещённость дна под отверстием не изменится: \(E_2=E_1=B\,S_{\text{отв}}/h^2\).

Проверка. Размерность: \(B\,\Omega\) — освещённость (\(\Omega\) безразмерно). Результат не зависит ни от площади отверстия, ни от яркости неба: отношение \(E_2/E_1=h^2/f^2=1\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.