Линза, Солнце и звезда

Линза собирает свет, упавший на её площадь, в изображение источника. Подумайте, от чего зависит размер этого изображения для Солнца и для звезды, и сколько света приходит от каждого из них.

Для линзы с радиусом \(a=2\) см и фокусом \(f=10\) см: Солнце — диск радиусом \(f\theta_0\approx0{,}5\) мм, \(I_F\approx2{,}5\cdot10^2\) Вт/см\(^2\) (бумага загорается). Звезда — пятно ограничено дифракцией, радиус около 2 мкм; усиление велико (\(\approx8\cdot10^7\)), но поток от звезды в \(\sim10^{11}\) раз слабее солнечного, и \(I_F\approx1{,}5\cdot10^{-4}\) Вт/см\(^2\) — в миллионы раз меньше, чем от Солнца.

Что происходит. Линза собирает свет, упавший на её площадь, в изображение источника. Энергия не теряется, поэтому интенсивность в изображении больше интенсивности падающего света во столько раз, во сколько площадь линзы больше площади изображения. У Солнца угловой размер конечный, поэтому его изображение — диск заметного размера, но поток велик. У звезды угловой размер ничтожен, изображение сжимается почти в точку, но ограничено дифракцией, и поток от звезды ничтожен. Главная идея: сравнить размер изображения и поток для двух источников.

Обозначения. Линза радиуса \(a=2\) см с фокусным расстоянием \(f=10\) см (потерями света и аберрациями пренебрегаем); \(\lambda=4{,}5\cdot10^{-5}\) см — длина волны света. Солнце: угловой радиус \(\theta_0\approx4{,}7\cdot10^{-3}\) рад, интенсивность у Земли \(I_0\approx0{,}14\text{ Вт/см}^2\). Звезда — как Солнце, но на расстоянии \(L=4\cdot10^{13}\) км (ближайшие звёзды): угловой радиус \(\theta_*=R_{\odot}/L\approx1{,}75\cdot10^{-8}\) рад. \(K\) — усиление интенсивности: \(I_F=KI_0\).

1. Солнце: изображение — диск. Лучи от каждой точки Солнца идут к линзе параллельным пучком под своим углом к оси и собираются в точку фокальной плоскости. Лучи от края диска Солнца приходят под углом \(\theta_0\) к оси, поэтому изображение — диск радиусом \(r_F=f\theta_0\) (рис. 1).

Вся световая энергия, упавшая на линзу, \(I_0\pi a^2\), попадает в диск площадью \(\pi r_F^2\) (потерь нет), поэтому \[K=\frac{\pi a^2}{\pi f^2\theta_0^2}=\left(\frac{a}{f\theta_0}\right)^2\approx1{,}8\cdot10^3,\qquad I_F=KI_0\approx2{,}5\cdot10^2\text{ Вт/см}^2,\quad r_F=f\theta_0\approx0{,}5\text{ мм}.\] Такой интенсивности достаточно, чтобы бумага загорелась (нужны порядка десятков Вт/см\(^2\)).

2. Звезда: дифракция. Угловой размер звезды \(\theta_*\approx1{,}75\cdot10^{-8}\) рад много меньше угла дифракции на отверстии радиуса \(a\): \(\theta_d\approx\lambda/a=2{,}25\cdot10^{-5}\) рад. Параллельный пучок от звезды не собирается в математическую точку: волновая природа света размывает изображение в пятно радиусом \(r_d=f\theta_d\approx2\) мкм (рис. 2).

Поэтому для звезды вместо \(\theta_0\) в формуле для \(K\) нужно брать \(\theta_d\) (общее правило: \(r_F\approx f(\theta_0+\theta_d)\)): \[K_d=\left(\frac{a}{f\theta_d}\right)^2=\frac{a^4}{\lambda^2f^2}\approx8\cdot10^7 .\] На рис. 3 видно, как усиление растёт с уменьшением углового размера источника и перестаёт расти при \(\theta_0\lesssim\theta_d\).

3. Сколько света даёт звезда. Звезда — такое же Солнце, только далёкое. Яркость поверхности (поток с единицы площади в единицу телесного угла) у них одинакова, поэтому интенсивность света у Земли пропорциональна телесному углу, под которым виден источник, то есть \(\theta^2\): \[I_{0*}=I_0\left(\frac{\theta_*}{\theta_0}\right)^2\approx0{,}14\cdot(3{,}7\cdot10^{-6})^2\approx1{,}9\cdot10^{-12}\text{ Вт/см}^2 .\]

4. Интенсивность в изображении звезды. \[I_{F*}=I_{0*}K_d\approx1{,}9\cdot10^{-12}\cdot8\cdot10^7\approx1{,}5\cdot10^{-4}\text{ Вт/см}^2 ,\] то есть в \(\approx1{,}6\cdot10^6\) раз меньше, чем в фокусе при свете Солнца. Для воспламенения бумаги не хватает не меньше чем в \(10^5\) раз. Увеличить интенсивность можно только размером линзы: \(K_d\propto a^4/f^2\propto a^2\) при \(f/a=\text{const}\); чтобы получить \(100\text{ Вт/см}^2\), радиус линзы должен быть около \(2\text{ см}\cdot\sqrt{100/(1{,}5\cdot10^{-4})}\approx16\) м.

Обратите внимание. Если применить к звезде ту же геометрическую формулу \(K=(a/f\theta)^2\) с \(\theta=\theta_*\), получится \(I_F\approx250\text{ Вт/см}^2\) — как у Солнца: в геометрической оптике интенсивность изображения равна яркости источника, умноженной на \((a/f)^2\), и от расстояния до источника не зависит. Это неверно для звезды, потому что без учёта дифракции размер изображения вышел бы меньше длины волны. Именно дифракция «срезает» интенсивность в миллионы раз.

Проверка. Размерность: \(K\) безразмерно, \(I_F\) в \(\text{Вт/см}^2\). Второй закон термодинамики: поглощающее тело, нагретое излучением с интенсивностью \(I_F\) (в равновесии \(\sigma T^4=I_F\)), не может стать горячее источника. Для Солнца \(I_F=2{,}5\cdot10^6\text{ Вт/м}^2\) даёт \(T\approx2{,}6\cdot10^3\) К \(<5{,}8\cdot10^3\) К — противоречия нет. Для звезды \(I_F\approx1{,}5\text{ Вт/м}^2\) даёт \(T\approx70\) К — ниже комнатной температуры: бумага от неё не нагреется вовсе.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.