Два манометра подряд

Воздух между манометрами заперт: когда первый манометр заполняется ртутью до верха, воздух сжимается во втором и давит на правое колено первого сильнее атмосферы. Свяжите давление запертого воздуха двумя способами: через уровни ртути во втором манометре и по закону Бойля — Мариотта.

\(p_1=(1+\sqrt2)\,p_0\approx2{,}4\) атм (при \(p_0=1\) атм; избыточное давление над атмосферным \(\sqrt2\,p_0\approx1{,}4\) атм).

Что происходит. Один манометр измеряет избыточное давление над атмосферным; предел ставит длина колен: нельзя, чтобы ртуть вышла из правого колена. Если правое колено первого манометра соединить с левым коленом второго, между ними окажется заперт воздух. Второй манометр, в правом колене которого атмосфера, нагружает этот воздух избыточным давлением, так что на правое колено первого давит уже не \(p_0\), а больше. Тогда первый манометр может показать давление больше атмосферного на \(1\) атм плюс эту добавку. Главная идея: давление запертого воздуха находим двумя способами — по гидростатике и по закону Бойля — Мариотта — и приравниваем.

Обозначения. \(H\) — высота колен над изгибом (предельная разность уровней); \(S\) — сечение трубок; в начале оба колена каждого манометра заполнены ртутью до половины (\(H/2\) воздуха сверху), атмосферное давление \(p_0\). Условие трактуем так: один манометр рассчитан на избыточное давление \(1\) атм, и атмосферное давление тоже \(1\) атм: \(\rho gH=p_0\). \(p_1\) — давление в левом колене первого манометра (искомое наибольшее), \(p_2\) — давление запертого воздуха, \(h\) — разность уровней ртути во втором манометре.

1. Первый манометр на пределе. Наибольшее давление измерим, когда ртуть первого манометра дошла до верха правого колена, а в левом колене опустилась до изгиба (рис. 2, левый манометр). Гидростатика (давления в ртути на одном горизонтальном уровне в сообщающихся коленах равны): на уровне нижней поверхности ртути слева давление \(p_1\), на том же уровне справа \(p_2+\rho gH\): \[p_1=p_2+\rho gH=p_2+p_0 .\]

2. Второй манометр. В его левом колене запертый воздух давлением \(p_2\), в правом — атмосфера \(p_0\). Гидростатика для столба ртути между уровнями (разность \(h\)): \[p_2=p_0+\rho gh=p_0\left(1+\frac hH\right)\] (здесь использовано \(\rho g=p_0/H\)).

3. Запертый воздух. До соединения в правом колене первого манометра было \(SH/2\) воздуха при давлении \(p_0\), в левом колене второго — ещё \(SH/2\) при \(p_0\); после соединения они образуют один объём \(SH\). В конце правое колено первого манометра заполнено ртутью целиком, так что весь воздух находится в левом колене второго: ртуть в нём опустилась на \(h/2\) (правая поднялась на \(h/2\)), длина воздуха \(\dfrac H2+\dfrac h2\). Температура постоянна (сжатие медленное, ртуть и стекло держат температуру), закон Бойля — Мариотта для запертого воздуха: \[p_0\,SH=p_2\,S\,\frac{H+h}{2}\quad\Rightarrow\quad p_2=\frac{2p_0}{1+h/H}.\]

4. Решение. Приравниваем два выражения для \(p_2\) (рис. 3): с \(x=h/H\) получаем \(1+x=\dfrac{2}{1+x}\), откуда \((1+x)^2=2\), \(x=\sqrt2-1\approx0{,}41\). Тогда \[p_2=\sqrt2\,p_0,\qquad p_1=p_2+p_0=(1+\sqrt2)\,p_0\approx2{,}4\text{ атм}.\]

Обратите внимание. Нельзя просто сложить пределы двух манометров (\(1+1=2\) атм): воздух между манометрами сжимается, поэтому второй манометр принимает давление не \(p_0\), а \(p_0+\rho gh\), и первый манометр добавляет к нему только свой предел \(p_0\). Избыточное давление над атмосферным получается \(\sqrt2\,p_0\approx1{,}4\) атм, а не \(2\) атм.

Проверка. Размерность: все слагаемые — давления. Ртуть во втором манометре опустилась в левом колене на \(h/2\approx0{,}21H<H/2\) — не вышла из колена, решение осуществимо. Подстановка: \(p_0(1+0{,}414)=1{,}414\,p_0\) по гидростатике и \(\dfrac{2p_0}{1{,}414}=1{,}414\,p_0\) по закону Бойля — Мариотта — оба выражения для \(p_2\) совпали. Физический смысл: если бы воздух между манометрами не сжимался, пределы двух манометров просто складывались бы (избыточное давление \(2\) атм); сжимаемость воздуха отнимает от этого \(2-\sqrt2\approx0{,}6\) атм.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.