Станция со спутника

Скорость станции при старте должна быть не меньше той, при которой она уходит от Земли (полная энергия станции не меньше нуля); скорость остатка в точке старта найдите из законов сохранения момента импульса и энергии для эллиптической орбиты. Связывает все три скорости закон сохранения импульса при запуске.

\(\dfrac{m}{M}=\dfrac{u+w}{v+w}=\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt6+\sqrt2}\approx0{,}81\), где \(u=\sqrt{\dfrac{GM_0}{2R}}\), \(v=\sqrt{\dfrac{GM_0}{R}}\), \(w=\sqrt{\dfrac{GM_0}{3R}}\).

Что происходит. В момент запуска спутник «разрывается» на станцию и остаток. Скорость станции должна быть такой, чтобы она ушла от Земли: чем она больше, тем меньше станция, потому что запас импульса ограничен. Поэтому лучшая станция улетает с минимальной скоростью — когда её полная энергия равна нулю. Скорость остатка в точке старта определяется эллиптической орбитой, которая должна коснуться Земли. А связывает все скорости закон сохранения импульса при запуске. Главная идея: найти три скорости из законов Ньютона, сохранения энергии и момента импульса, затем подставить их в закон сохранения импульса.

Обозначения. \(M_0\) — масса Земли, \(M\) — масса спутника, \(m\) — масса станции, \(\mu=M-m\) — масса остатка; \(O\) — центр Земли, \(A\) — точка старта станции (\(OA=2R\)), \(P\) — точка касания эллипса поверхности Земли (\(OP=R\), \(P\) противоположна \(A\)). Скорости: \(u\) — спутника до запуска, \(v\) — станции и \(w\) — остатка сразу после запуска. Притяжением Солнца и других планет, вращением Земли и движением Земли вокруг Солнца пренебрегаем: Земля неподвижна, \(M_0\gg M\).

1. Скорость спутника. На круговой орбите радиуса \(2R\) центростремительное ускорение даёт сила притяжения. Второй закон Ньютона для спутника в проекции на радиус: \[\frac{Mu^2}{2R}=\gamma\frac{M_0M}{(2R)^2}\quad\Rightarrow\quad u^2=\frac{\gamma M_0}{2R}=\frac{GM_0}{2R}\] (здесь \(G=\gamma\) — гравитационная постоянная).

2. Минимальная скорость станции. Станция должна уйти от Земли на бесконечность (пока пренебрегаем притяжением других тел). Минимальная скорость отвечает тому, что на бесконечности она останавливается: закон сохранения энергии станции в поле Земли между точкой старта и бесконечностью даёт нулевую полную энергию: \[\frac{mv^2}{2}-\gamma\frac{M_0m}{2R}=0\quad\Rightarrow\quad v^2=\frac{GM_0}{R}.\] При большей скорости станция тоже улетит, но, как показано в шаге 5, её масса окажется меньше.

3. Скорость остатка. Эллипс остатка касается Земли в точке \(P\) и проходит через точку \(A\) старта; \(A\) и \(P\) лежат на одной прямой с центром Земли, поэтому это концы большой оси: в \(A\) остаток наиболее удалён от Земли (расстояние \(2R\)), в \(P\) — ближе всего (расстояние \(R\)). В этих двух точках скорость остатка перпендикулярна радиусу-вектору. Обозначим скорость в \(P\) через \(w'\). Закон сохранения момента импульса остатка относительно центра Земли (центральная сила — момент относительно \(O\) равен нулю), он же второй закон Кеплера: \[\mu\,w\cdot 2R=\mu\,w'\cdot R\quad\Rightarrow\quad w'=2w .\] Закон сохранения энергии остатка между \(A\) и \(P\) (только сила тяготения): \[\frac{\mu w^2}{2}-\gamma\frac{M_0\mu}{2R}=\frac{\mu w'^2}{2}-\gamma\frac{M_0\mu}{R} \;\Rightarrow\; \frac{w'^2-w^2}{2}=\frac{3w^2}{2}=\frac{GM_0}{2R} \;\Rightarrow\; w^2=\frac{GM_0}{3R}.\]

4. Закон сохранения импульса при запуске. Запуск быстрый, внутренние силы много больше притяжения Земли, поэтому импульс системы «спутник \(\to\) станция + остаток» сохраняется. Скорости \(u\) и \(w\) направлены по одной прямой — касательной к орбите в точке \(A\) (перпендикулярно \(OA\)), значит, и скорость станции по ней же. Проекции на эту прямую с осью по скорости спутника, \(v_x=\pm v\), \(w_x=\pm w\): \[Mu=mv_x+(M-m)w_x\quad\Rightarrow\quad\frac{m}{M}=\frac{u-w_x}{v_x-w_x}.\] Станция должна иметь положительную долю массы и лететь вперёд (\(v_x=+v\)). Остаток, летящий вперёд (\(w_x=+w\)), даёт \(\dfrac{u-w}{v-w}\approx0{,}31\); остаток, отброшенный назад (\(w_x=-w\)), даёт больше: \[\frac{m}{M}=\frac{u+w}{v+w}.\] Остаток, отброшенный назад, «толкает» станцию вперёд, так что доля станции растёт (рис. 2).

5. Минимальная \(v\) даёт максимум. Выражение \(\dfrac{u+w}{v+w}\) убывает с ростом \(v\), поэтому максимум достигается при минимальной скорости станции, найденной в шаге 2. Единица скорости \(\sqrt{GM_0/R}\): \(u=1/\sqrt2\), \(v=1\), \(w=1/\sqrt3\): \[\frac{m}{M}=\frac{\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}}{1+\frac1{\sqrt3}}=\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt6+\sqrt2}\approx0{,}81 .\]

Обратите внимание. Станция должна улететь от Земли, а не выйти на орбиту: её скорость — вторая космическая для расстояния \(2R\) (\(v^2=2GM_0/(2R)\)), в \(\sqrt2\) раз больше круговой скорости \(u\), а не первая космическая. Скорость остатка направлена по касательной именно потому, что \(A\) — наиболее удалённая точка эллипса; этого требует условие о касании Земли в противоположной точке.

Проверка. Доля безразмерна, и \(0<\dfrac{m}{M}<1\). Если бы остатка не было (\(w\to0\)), доля была бы \(u/v=1/\sqrt2\approx0{,}71\) — меньше найденной \(0{,}81\): отброшенный назад остаток действительно помогает станции. Станции вообще не может быть больше всего спутника (\(u<v\)), так что ответ меньше единицы. Физический смысл: масса станции ограничена тем, что для её разгона до параболической скорости нужен импульс, который можно взять только у спутника и отдачи остатка.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.