Торможение спутника

Работа силы сопротивления за виток равна изменению полной энергии \(E=-mv^2/2\), поэтому скорость растёт, а радиус орбиты падает. Плотность воздуха найдите из тангенциального ускорения по наклону графика \(v(t)\).

1) \(v_0=\sqrt{GM/R_0}\), \(T_0=2\pi R_0/v_0\); 2) \(E_0=-mv_0^2/2\); 3) \(\dfrac{\Delta v}{v_0}=2\pi R_0\dfrac{C\rho_0S}{m}\), \(\dfrac{\Delta R}{R_0}=2\dfrac{\Delta v}{v_0}\); 4) \(a_\tau=\dfrac{C\rho_0Sv_0^2}{m}\); 5) \(v_{n0}=\dfrac{2R_0C\rho_0Sv_0}{m}\), \(\alpha=-\dfrac12\); 6) \(\beta=(1{,}3\pm0{,}2)\cdot10^{-4}\) м\(^{-1}\).

1. При движении спутника, на него действует лишь сила притяжения со стороны Земли (сопротивление пока не учитываем). Она же является центростремительной силой.

\[G\frac{Mm}{R_{0}^{2}} = \frac{mv_{0}^{2}}{R_{0}}\tag{1}\]

Отсюда получаем:

\[v_{0} = \sqrt{\frac{GM}{R_{0}}}\tag{2}\]

Период обращения:

\[T_{0} = \frac{2\pi R_{0}}{v_{0}} = \frac{2\pi}{\sqrt{GM}} R_{0}^{3/2}\tag{3}\]

2. Полная механическая энергия спутника есть сумма его потенциальной и кинетической энергий:

\[E_{0} = -G\frac{Mm}{R_{0}} + \frac{mv_{0}^{2}}{2} = -G\frac{Mm}{2R_{0}} = -\frac{mv_{0}^{2}}{2}\tag{4}\]

Заметим, что полная энергия является отрицательной величиной и по модулю равна кинетической энергии.

3. Т.к. радиус орбиты изменяется несущественно, то можно считать, что на протяжении всего витка на него действует одна и та же постоянная по модулю сила сопротивления \(F_{C} = C\rho_{0}Sv_{0}^{2}\), т.е. плотность воздуха и скорость в этом выражении считаем постоянными. Эта сила будет совершать отрицательную работу \(A_{C} = -F_{C} \cdot 2\pi R_{0}\), что приведёт к уменьшению полной энергии спутника. Для вычисления относительного изменения скорости, воспользуемся выражением полной энергии спутника через его скорость. Тогда закон сохранения энергии примет вид:

\[-\frac{mv_{0}^{2}}{2} - C\rho_{0}Sv_{0}^{2} \cdot 2\pi R_{0} = -\frac{m(v_{0} + \Delta v)^{2}}{2}\tag{5}\]

Сразу же отметим, что скорость должна увеличиваться. Преобразуем выражения, стоящие в правой части равенства.

\[(v_{0} + \Delta v)^{2} = v_{0}^{2}\left(1 + \frac{\Delta v}{v_{0}}\right)^{2} = v_{0}^{2}\left(1 + 2\frac{\Delta v}{v_{0}} + \left(\frac{\Delta v}{v_{0}}\right)^{2}\right) \approx v_{0}^{2}\left(1 + 2\frac{\Delta v}{v_{0}}\right)\tag{6}\]

В последнем преобразовании было учтено, что величина \(\left(\frac{\Delta v}{v_{0}}\right)^{2}\) очень маленькая, поэтому её можно не учитывать. Используя такое упрощение и преобразуя уравнение (5), получим:

\[\frac{\Delta v}{v_{0}} = 2\pi R_{0} \frac{C\rho_{0}S}{m}\tag{7}\]

Для определения относительного изменения радиуса орбиты, поступим следующим образом. Из (2) следует, что:

\[v_{0}^{2}R_{0} = GM = const\tag{8}\]

Другими словами, произведения квадрата скорости на радиус орбиты остаётся постоянной величиной. Значит:

\[(v_0 + \Delta v)^2 \cdot (R_0 - \Delta R) = v_0^2 R_0\tag{9}\]

Совершив, преобразование (6), получим:

\[\frac{\Delta R}{R_0} = 2 \frac{\Delta v}{v_0} = 4\pi R_0 \frac{C\rho_0 S}{m}\tag{10}\]

Заметим, что в решении этого пункта присутствует существенное упрощение. С одной стороны мы считаем силу постоянной, а, т.к. в выражение для силы входит квадрат скорости, то его мы фактически тоже считаем постоянным. С другой стороны мы ищем изменение этой самой скорости. На самом деле, с изменением скорости изменяется и сила сопротивления, и точное решение будет несколько отличаться от полученного нами. Однако для малых относительных изменений скорости это различие будет несущественным и такой метод решения вполне применим.

4. Выражение для тангенциального ускорения легко получить, разделив изменение скорости спутника на величину промежутка времени, за который это изменение произошло, т.е. на продолжительность одного «витка».

\[a_T = \Delta v / (2\pi R_0 / v_0) = \frac{C\rho_0 S v_0^2}{m} = \frac{F_C}{m}\tag{11}\]

Такой вот получается парадокс. Вроде как сила сопротивления, а приводит к ускорению спутника.

5. Скорость снижения спутника находится аналогично:

\[v_{n0} = \Delta R / (2\pi R_0 / v_0) = \frac{2 R_0 C\rho_0 S v_0}{m}\tag{12}\]

Используя выражение (2), получим:

\[v_{n0} = \frac{2 C\rho_0 S \sqrt{GM}}{m} \sqrt{R_0}\tag{13}\]

Если плотность будет убывать обратно пропорционально корню квадратному от расстояния до центра Земли, то скорость \(v_{n0}\) не будет изменяться. Поэтому

\[\alpha = -\frac{1}{2}\tag{14}\]

6. Рассмотрим подробнее выражение (11). Выражая плотность, получим:

\[\rho = \frac{m}{CS} \frac{1}{v^2} a_T = \frac{m}{CS} \frac{1}{v^2} \frac{\Delta v}{\Delta t}\tag{15}\]

Таким образом, чтобы найти плотность, надо не знать скорость и ускорение спутника. Кроме того, понадобится также определять высоту, на которой находится спутник в данный момент времени:

\[h = R - R_0 = \frac{GM}{v^2} - R_0\tag{16}\]

Подставим известные численные значения постоянных и получим:

\[\rho = 100 \frac{1}{v^2} \frac{\Delta v}{\Delta t}\tag{17}\]

\[h = \frac{4{,}00 \cdot 10^{14}}{v^2} - 6{,}4 \cdot 10^6\tag{18}\]

Для вычисления \(\rho(h)\) необходимо на приведённом графике взять несколько точек, по значению скорости вычислить высоту полёта спутника, а проведя касательные в этих точках, вычислить ускорения, что позволит определить плотность атмосферы. Результаты приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Точно провести касательную – сложная задача, поэтому ускорение приведено с двумя (а в последнем случае – с одной) значащими цифрами. Видим, что в пятидесятикилометровом интервале высоты плотность изменяется почти на три порядка. В таблице также вычислен натуральный логарифм от плотности, что необходимо для определения \(\beta\). На рисунке 1 приведён график \(\ln(\rho) = f(h)\). Можно с достаточной долей уверенности сказать, что плотность действительно будет убывать по экспоненциальному закону.

Из этого графика можно получить величину постоянной \(\beta\):

\[\beta = (1{,}3 \pm 0{,}2) \cdot 10^{-1} \, \text{км}^{-1} = (1{,}3 \pm 0{,}2) \cdot 10^{-4} \, \text{м}^{-1} .\tag{19}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.