Падение спутника после торможения

Сравните скорость спутника с первой космической. Что будет с радиальным движением, если уменьшить скорость на \(1\%\)? Оцените время падения с ускорением, которое возникает за счёт этого.

Если бы скорость спутника равнялась первой космической, то второй закон Ньютона дал бы \[m\frac{v^2}{R} = G\frac{mM}{R^2},\] и спутник двигался бы по окружности. Когда скорость спутника становится меньше первой космической, спутник начинает совершать два движения: по радиусу к центру Земли с ускорением \[a = \frac{GM}{R^2} - \frac{v^2}{R} = \frac{GM}{R^2}\left(1 - 0{,}99^2\right) \approx 2 \cdot 10^{-1}\ \text{м/с}^2,\] которое практически постоянно из-за небольшого изменения радиуса орбиты, и по касательной к радиусу (орбитальное) с той же первой космической скоростью. Поэтому время падения спутника можно оценить (при отсутствии силы сопротивления воздуха, которая очень сильно изменила бы движение): \[t \approx \sqrt{\frac{2h}{a}} \approx \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{5}\ \text{м}}{2 \cdot 10^{-1}\ \text{м/с}^2}} \approx 10^{3}\ \text{с}.\] Для оценки пройденного спутником расстояния нужно его орбитальную скорость (первую космическую, \(v \approx 8\) км/с) умножить на время падения: \[S \approx v t \approx 8\ \text{км/с} \cdot 10^{3}\ \text{с} \approx 8000\ \text{км}.\] Поскольку окружность Земли составляет около 40000 км, спутник пролетит приблизительно пятую часть окружности.