Шарнирный механизм Липкина — Посселье

Выразите квадрат расстояния \(AN\) через положение точки \(M\) на окружности. Что остаётся неизменным при повороте механизма?

Рассмотренный в задаче шарнирный механизм был предложен учеником выдающегося русского математика П. Л. Чебышева Л. Липкиным и французом Ш. Посселье и называется механизм Липкина–Посселье (или прямило Липкина). Этот механизм позволяет преобразовать вращательное движение в движение по прямой, причём точное и без использования каких-либо направляющих (как в кривошипно-шатунном механизме). Механизм Липкина–Посселье сыграл важную роль в исследовании свойств шарнирных передач, однако в технике особых применений не нашёл, поскольку ко времени его открытия были созданы хорошие смазочные материалы, позволяющие делать такое преобразование движения с использованием направляющих.

Докажем, что точка \(N\) движется по прямой. Пусть радиус окружности, по которой движется точка \(M\), равен \(R\), \(AB = AC = L\), \(MB = MC = l\). Найдём расстояние \(AN\). Если \(MO = x\), то \[AB^2 - AO^2 = MB^2 - MO^2 \quad\Rightarrow\quad L^2 - (2R + x)^2 = l^2 - x^2 .\] Отсюда находим \[x = \frac{L^2 - l^2}{4R} - R .\] Поэтому \[AN = 2R + 2x = \frac{L^2 - l^2}{4R}.\]

Когда конструкция повернётся относительно точки \(A\) на угол \(\alpha\), но так, что точка \(M\) движется по пунктирной окружности и займёт положение \(M'\), длину отрезка \(AN'\) можно найти с помощью аналогичных формул: \[AN' = \frac{L^2 - l^2}{2\,AM'} .\] Поскольку угол \(AM'M\) прямой (опирается на диаметр), то \(AM' = 2R\cos\alpha\) и, следовательно, \[AN' = \frac{L^2 - l^2}{4R\cos\alpha}.\]

Поэтому точка \(N'\) проецируется на прямую \(AN\) в такую точку, которая лежит на расстоянии \[AN' \cos\alpha = \frac{L^2 - l^2}{4R}\] от точки \(A\), т.е. в точку \(N\), как это следует из сравнения формул для \(AN\) и \(AN'\). Таким образом, точка \(N\) шарнирного механизма движется по прямой, перпендикулярной отрезку \(AN\) и проходящей через точку \(N\). Другими словами, при вращении всей конструкции точка \(N\) движется по прямой.