Шарнирные ромбы

Стержни \(B_1C_2\) и \(C_1B_2\) пересекаются в \(A_1\) и соединены там шарниром, поэтому у всех трёх ромбов один и тот же угол. Выразите координаты вершин \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) через этот угол и сторону самого малого ромба.

\(v_{A_1}=\dfrac{v_0}{2}\);  \(v_{A_2}=\dfrac{5}{6}\,v_0\);  \(v_{B_1}=\dfrac{\sqrt2}{4}\,v_0\approx0{,}35\,v_0\), направлена под углом \(45^\circ\) к горизонту, к оси конструкции (вниз и вправо у верхней вершины).

Что происходит. Это шарнирный пантограф. Стержни \(B_1C_2\) и \(C_1B_2\) по рисунку пересекаются в вершине \(A_1\) и скреплены шарниром, так же устроена вершина \(A_2\). Поэтому сторона \(B_1A_1\) первого ромба продолжается стороной \(A_1C_2\) второго, и все три ромба имеют один и тот же угол при вершинах на оси. Конструкция имеет одну степень свободы: задав угол, мы определяем положения всех вершин. Главная идея: записать координаты \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(B_1\) как функции одного угла и продифференцировать по времени.

Обозначения. Стороны ромбов \(3a\), \(2a\), \(a\); \(\alpha\) — угол между стороной ромба и осью \(x\), проходящей через вершины \(A_0,A_1,A_2,A_3\) (половина угла ромба при вершине на оси). Ось \(x\) направлена вдоль скорости \(\vec v_0\), начало — в закреплённой вершине \(A_0\), ось \(y\) — вверх.

1. Координаты вершин на оси. Диагональ ромба со стороной \(b\) и углом \(\alpha\) между стороной и диагональю равна \(2b\cos\alpha\). Вершины \(A_0,A_1,A_2,A_3\) лежат на оси симметрии (расположение следует из того, что стержни шарнирно скреплены и ромбы одинаковы по углу), поэтому \[x_1=6a\cos\alpha,\qquad x_2=(6+4)\,a\cos\alpha=10a\cos\alpha,\qquad x_3=(6+4+2)\,a\cos\alpha=12a\cos\alpha .\] Отсюда при любом \(\alpha\) выполнено \(x_1=\dfrac{x_3}{2}\) и \(x_2=\dfrac{5}{6}x_3\).

2. Скорости \(A_1\) и \(A_2\). Так как отношения координат не меняются со временем, то такие же отношения у скоростей: \(v_{A_1}=\dfrac{dx_1}{dt}=\dfrac12\dfrac{dx_3}{dt}\), \(v_{A_2}=\dfrac56\dfrac{dx_3}{dt}\). Скорость \(A_3\) равна \(v_0\). Следовательно, \(v_{A_1}=\dfrac{v_0}{2}\) и \(v_{A_2}=\dfrac56v_0\) — вдоль оси, в сторону \(\vec v_0\). Прямых углов для этого результата не требуется: он верен в любой момент.

3. Скорость \(B_1\). Стержень \(A_0B_1\) длиной \(3a\) закреплён в точке \(A_0\) и может только вращаться вокруг неё. Значит, точка \(B_1\) движется по окружности радиуса \(3a\) с центром \(A_0\), и её скорость перпендикулярна стержню \(A_0B_1\). Модуль: \(v_{B_1}=3a\,|\dot\alpha|\). Угловую скорость находим из движения \(A_3\): \[v_0=\left|\frac{dx_3}{dt}\right|=12a\sin\alpha\,|\dot\alpha|,\qquad |\dot\alpha|=\frac{v_0}{12a\sin\alpha}.\] Тогда в общем виде \[v_{B_1}=3a\,|\dot\alpha|=\frac{v_0}{4\sin\alpha}.\] Все углы конструкции прямые, значит каждый ромб — квадрат, \(\alpha=45^\circ\), \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}\): \[v_{B_1}=\frac{v_0}{4\cdot\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{\sqrt2}{4}\,v_0\approx0{,}35\,v_0 .\] Стержень \(A_0B_1\) идёт под \(45^\circ\) вверх вправо, поэтому скорость \(B_1\), перпендикулярная ему, направлена под \(45^\circ\) вниз вправо: проекции на оси \(v_x=v_y=\dfrac{v_0}{4}\) по модулю (\(B_1\) приближается к оси, потому что при растяжении \(\alpha\) уменьшается).

Обратите внимание: скорость \(B_1\) не лежит на оси. Скорости вершин \(A_i\) найдены по их горизонтальным координатам, но \(B_1\) движется по окружности вокруг \(A_0\), и её скорость перпендикулярна стержню \(A_0B_1\).

Ответ: \(v_{A_1}=\dfrac{v_0}{2}\); \(v_{A_2}=\dfrac56v_0\); \(v_{B_1}=\dfrac{\sqrt2}{4}v_0\approx0{,}35\,v_0\), под \(45^\circ\) к оси конструкции.

Проверка. Второй способ для \(B_1\): \(x_{B_1}=3a\cos\alpha=\dfrac{x_3}{4}\), поэтому \(v_x=\dfrac{v_0}{4}\) при любом \(\alpha\); из \(x_{B_1}^2+y_{B_1}^2=9a^2\) при \(\alpha=45^\circ\) имеем \(|v_y|=v_x=\dfrac{v_0}{4}\), а модуль \(\dfrac{\sqrt2}{4}v_0\) — как найден выше. Предел: когда конструкция почти вытянута (\(\alpha\to0\)), вершина \(B_1\) движется почти вертикально и быстро: \(v_{B_1}=\dfrac{v_0}{4\sin\alpha}\to\infty\), потому что малое смещение \(A_3\) вдоль оси требует большого поворота стержней; при \(\alpha\to90^\circ\) получаем \(v_0/4\) — вдоль оси.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.