Бусинки на изогнутой проволоке

В начальный момент ускорения бусинок связаны условием нерастяжимости нити, поэтому их можно выразить через одно ускорение. Для нахождения скоростей используйте теорему об изменении кинетической энергии системы и связь скоростей бусинок через нить.

Третий угол треугольника, образованного участками проволоки и нитью, также равен \(\beta = 30^\circ\), поэтому треугольник с вершиной в углу проволоки равнобедренный. На бусинки действуют силы натяжения нити (вдоль нити), силы реакции проволоки (перпендикулярно проволоке) и внешняя сила \(\vec F\) (см. рисунок):

Второй закон Ньютона в проекциях на оси, параллельные участкам проволоки: \[2ma_1 = T\cos\beta, \qquad ma_2 = F - T\cos\beta,\] где \(a_1\) — ускорение бусинки массой \(2m\), \(a_2\) — ускорение бусинки массой \(m\). Поскольку движение начинается из состояния покоя, проекции скоростей бусинок на нерастяжимую нить одинаковы, и так же связаны их ускорения. Углы между нитью и участками проволоки в начальный момент одинаковы, поэтому \(a_1 = a_2 = a\). Складывая уравнения, получаем \[a = \frac{F}{3m}, \qquad T = \frac{2F}{3\cos\beta} = \frac{4F}{3\sqrt{3}}.\]

Скорости найдём по теореме об изменении кинетической энергии. Работу совершает только сила \(\vec F\). Длина каждого участка проволоки от угла до бусинки в начальный момент равна \(\dfrac{l}{2\cos\beta}\), поэтому когда вторая бусинка доходит до угла, точка приложения силы \(\vec F\) смещается на \[l - \frac{l}{2\cos\beta} = \frac{(2\cos\beta-1)l}{2\cos\beta},\] и работа силы равна \[A_F = \frac{(2\cos\beta-1)Fl}{2\cos\beta} = \frac{(\sqrt{3}-1)Fl}{\sqrt{3}}.\] Теорема об изменении кинетической энергии: \[\frac{2mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2} = A_F.\] В момент прихода второй бусинки в угол проекции скоростей на нить одинаковы: \(v_1\cos60^\circ = v_2\), откуда \(v_1 = 2v_2\). Тогда \(\dfrac{9}{2}mv_2^2 = A_F\), и \[v_2 = \sqrt{\frac{2(\sqrt{3}-1)Fl}{9\sqrt{3}\,m}}, \qquad v_1 = 2v_2.\]