Росатом, 2024/25, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Ускорение больше \(g\), значит, сила сопротивления направлена против скорости и не совпадает с вертикалью. Сложите силу тяжести и силу сопротивления векторно.

Ответ

\(F_c = \dfrac{\sqrt{7}}{3}mg\); вектор ускорения направлен под углом \(\operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt{7}}{3}\) к вертикали.

Решение

Ускорение тела больше \(g\), поэтому на него действует сила сопротивления воздуха, направленная в верхней точке траектории параллельно поверхности земли, против скорости. Сила тяжести \(m\vec g\) и сила сопротивления \(\vec F_c\) перпендикулярны, а их равнодействующая равна \(ma\) (см. рисунок):

\[ma = \sqrt{(mg)^2 + F_c^2}.\] Выражая отсюда силу сопротивления и учитывая, что \(a = \dfrac{4g}{3}\), получаем \[F_c = \frac{\sqrt{7}}{3}mg.\] Вектор ускорения направлен под углом \(\alpha\) к вертикали, где \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{F_c}{mg} = \dfrac{\sqrt{7}}{3}\).

Подсказка

Из-за трения поршень может находиться в равновесии при разных силах. Запишите условие равновесия поршня в двух случаях, при опускании и при подъёме, с силой трения \(F_{тр}\) в обоих случаях.

Ответ

\(p = p_0 + \dfrac{mg}{S} + \dfrac{F_1 - F_2}{2S}\).

Решение

Если бы между стенками сосуда и поршня не действовали силы трения, поршень можно было бы вывести из равновесия бесконечно малой силой. Поэтому между поршнем и стенками действует сила трения \(F_{тр}\).

Поскольку поршень перемещается медленно, для него выполняются условия равновесия. При опускании поршня \[F_1 + mg + p_0S = pS + F_{тр},\] при подъёме поршня \[F_2 + pS = p_0S + F_{тр} + mg.\] Вычитая второе уравнение из первого, получаем \[p = p_0 + \frac{mg}{S} + \frac{F_1 - F_2}{2S}.\]

Подсказка

Работа по подъёму грунта равна изменению его потенциальной энергии. Для грунта, лежащего на глубине, найдите потенциальную энергию через положение его центра тяжести.

Ответ

Первый рабочий должен выкопать глубину \(x = \dfrac{h}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71\,h\) (второй — оставшиеся \(0{,}29\,h\)).

Решение

Пусть первый рабочий выкопал колодец до глубины \(x\), \(\rho\) — плотность грунта, \(S\) — площадь сечения колодца. Он поднял грунт массой \(\rho Sx\) с центром тяжести на глубине \(x/2\), поэтому его работа равна изменению потенциальной энергии грунта: \[A_1 = \frac{\rho g S x^2}{2}.\] Второй рабочий поднимает грунт массой \(\rho S(h-x)\), лежащий между глубинами \(x\) и \(h\), центр тяжести которого находится на глубине \(\dfrac{x+h}{2}\): \[A_2 = \rho g S(h-x)\cdot\frac{x+h}{2} = \frac{\rho g S (h^2 - x^2)}{2}.\] Работы равны при \(x^2 = h^2 - x^2\), откуда \[x = \frac{h}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71\,h.\] Второй рабочий должен выкопать оставшиеся \(0{,}29\,h\).

Подсказка

При соединении \(B\) и \(D\) проводник не пропускает ток из-за симметрии цепи. Найдите сопротивление цепи в каждом из трёх случаев и отношение токов.

Ответ

\(\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{1}{2}\); при соединении \(C\) и \(D\) амперметр покажет \(I_3 = 0{,}4\text{ А}\).

Решение

Когда точки \(B\) и \(D\) соединены проводником, ток через него не идёт из-за симметрии цепи. Сопротивление цепи в этом случае \(R_{BD} = \dfrac{1}{2}(R_1+R_2)\), и ток через амперметр \[I_2 = \frac{2\varepsilon}{R_1+R_2}.\] Если соединить точки \(A\) и \(D\), то сопротивление цепи \(R_{AD} = \dfrac{(R_1+R_2)R_2}{R_1+2R_2}\), и ток через амперметр \[I_1 = \frac{\varepsilon(R_1+2R_2)}{(R_1+R_2)R_2}.\] Деля токи друг на друга, находим отношение сопротивлений: \[\frac{R_1}{R_2} = \frac{2(I_1-I_2)}{I_2} = \frac{1}{2}.\] При соединении точек \(C\) и \(D\) сопротивление цепи \(R_{CD} = \dfrac{(R_1+R_2)R_1}{2R_1+R_2}\), и ток через амперметр \[I_3 = \frac{\varepsilon(2R_1+R_2)}{(R_1+R_2)R_1}.\] Отношение токов \(\dfrac{I_3}{I_2} = 1 + \dfrac{R_2}{2R_1}\). Подставляя \(\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{1}{2}\), получаем окончательно \[I_3 = \frac{(4I_1 - 3I_2)I_2}{4(I_1-I_2)} = 0{,}4\text{ А}.\]

Подсказка

В начальный момент ускорения бусинок связаны условием нерастяжимости нити, поэтому их можно выразить через одно ускорение. Для нахождения скоростей используйте теорему об изменении кинетической энергии системы и связь скоростей бусинок через нить.

Ответ

\(T = \dfrac{4F}{3\sqrt{3}}\); \(v_2 = \sqrt{\dfrac{2(\sqrt{3}-1)Fl}{9\sqrt{3}\,m}}\) для бусинки массой \(m\) и \(v_1 = 2v_2\) для бусинки массой \(2m\).

Решение

Третий угол треугольника, образованного участками проволоки и нитью, также равен \(\beta = 30^\circ\), поэтому треугольник с вершиной в углу проволоки равнобедренный. На бусинки действуют силы натяжения нити (вдоль нити), силы реакции проволоки (перпендикулярно проволоке) и внешняя сила \(\vec F\) (см. рисунок):

Второй закон Ньютона в проекциях на оси, параллельные участкам проволоки: \[2ma_1 = T\cos\beta, \qquad ma_2 = F - T\cos\beta,\] где \(a_1\) — ускорение бусинки массой \(2m\), \(a_2\) — ускорение бусинки массой \(m\). Поскольку движение начинается из состояния покоя, проекции скоростей бусинок на нерастяжимую нить одинаковы, и так же связаны их ускорения. Углы между нитью и участками проволоки в начальный момент одинаковы, поэтому \(a_1 = a_2 = a\). Складывая уравнения, получаем \[a = \frac{F}{3m}, \qquad T = \frac{2F}{3\cos\beta} = \frac{4F}{3\sqrt{3}}.\]

Скорости найдём по теореме об изменении кинетической энергии. Работу совершает только сила \(\vec F\). Длина каждого участка проволоки от угла до бусинки в начальный момент равна \(\dfrac{l}{2\cos\beta}\), поэтому когда вторая бусинка доходит до угла, точка приложения силы \(\vec F\) смещается на \[l - \frac{l}{2\cos\beta} = \frac{(2\cos\beta-1)l}{2\cos\beta},\] и работа силы равна \[A_F = \frac{(2\cos\beta-1)Fl}{2\cos\beta} = \frac{(\sqrt{3}-1)Fl}{\sqrt{3}}.\] Теорема об изменении кинетической энергии: \[\frac{2mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2} = A_F.\] В момент прихода второй бусинки в угол проекции скоростей на нить одинаковы: \(v_1\cos60^\circ = v_2\), откуда \(v_1 = 2v_2\). Тогда \(\dfrac{9}{2}mv_2^2 = A_F\), и \[v_2 = \sqrt{\frac{2(\sqrt{3}-1)Fl}{9\sqrt{3}\,m}}, \qquad v_1 = 2v_2.\]