Нюрнбергские ножницы
6/10На рисунке изображен шарнирный механизм — «Нюрнбергские ножницы». Точка \(C\) движется с постоянной скоростью \(v_0 = 60\) см/с.
Найдите скорость точки \(A\). Ответ выразите в см/с, округлите до целых.
Найдите скорость точки \(B\) в тот момент, когда угол \(\alpha = 30^\circ\). Ответ выразите в см/с, округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаГоризонтальные координаты шарниров растут пропорционально их номеру вдоль цепочки, а вертикальная координата верхнего шарнира связана с ними через угол \(\alpha\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(24\) см/с; 2) \(31{,}7\) см/с.
Бусинка на стержне
6/10Твердый невесомый стержень длиной \(2L\) опирается концом \(A\) на гладкую вертикальную стенку, а концом \(B\) на горизонтальную шероховатую поверхность. Коэффициент трения между стержнем и горизонтальной поверхностью — \(\mu\). По стержню может без трения скользить маленькая бусинка массой \(m\). Тела удерживают так, что стержень расположен под углом \(\alpha = 45^\circ\) к горизонту, а бусинка находится посередине стержня. Тела отпускают, и через некоторое время стержень приходит в движение, при этом бусинка к этому моменту времени не успевает удариться о горизонтальную поверхность.
Найдите скорость бусинки в момент времени, когда стержень начнет двигаться, и все значения коэффициента трения \(\mu\), при которых возможна описанная в условии ситуация.
Найдите силу взаимодействия стержня с вертикальной стенкой в этот момент времени.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСтержень невесом, поэтому силы на него в каждый момент уравновешены: от стенки, от пола и от бусинки (перпендикулярно стержню, постоянная по величине). Запишите равновесие стержня в зависимости от смещения бусинки и найдите, когда трению на полу перестанет хватать.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v = \sqrt{\sqrt2\,\mu gL}\), \(\mu < 1\); 2) \(N_A = \dfrac{mg(1 - \mu)}{2}\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПервый способ. Поскольку стержень находится в равновесии — равнодействующая сил, действующих на него, должна равняться нулю, а также относительно любой точки должен равняться нулю момент действующих на стержень сил. Поскольку массой стержня можно пренебречь, можно считать, что силы прикладываются к стержню в точках \(A\), \(B\) и в месте положения бусинки.
Сила реакции со стороны вертикальной стены \(\vec N_A\) направлена горизонтально, а сила взаимодействия бусинки со стержнем \(\vec N_\text{Б}\) направлена перпендикулярно последнему, поскольку трения между ними нет. Тогда линия действия равнодействующей сил нормальной реакции и трения в точке \(B\) — полной реакции опоры \(\vec Q_B = \vec N_B + \vec F_\text{тр}\) — должна проходить через точку пересечения линий действия \(\vec N_A\) и \(\vec N_\text{Б}\) по теореме о трёх непараллельных силах. Изобразим это на рисунке.
Поскольку линия действия \(\vec N_A\) фиксирована, а \(\vec N_\text{Б}\) сохраняет своё направление — точка пересечения линий действия сил перемещается горизонтально. Угол наклона стержня к вертикали составляет \(45^\circ\), значит смещению бусинки вдоль стержня на величину \(x\) соответствует смещение пересечения линий действия сил на величину \(x\sqrt2\).
Возможны два варианта начала движения стержня: скольжение по полу и стенке или вращение относительно нижнего конца. Предположим, что стержень начнёт проскальзывать. Это произойдет в тот момент, когда \(\vec Q_B\) более не сможет удовлетворить условию пересечения линий действия сил, т. е. угол \(\varphi\) превысит величину \(\operatorname{arctg}\mu\). Отсюда найдём перемещение бусинки \(x_{max}\): \[\frac{x_{max}\sqrt2}{L\sqrt2} = \mu \;\Rightarrow\; x_{max} = \mu L.\] Стержень придет в движение до момента удара бусинки о пол, если \(x_{max} < L\), отсюда получаем условие на коэффициент трения, при котором возможна описанная ситуация: \(\mu < 1\). Определим скорость бусинки из закона сохранения механической энергии: \[\frac{mv^2}{2} = \frac{mgx_{max}}{\sqrt2} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\sqrt2\,\mu gL}.\]
Второй способ. Расставим силы, действующие на стержень, и запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:
\[F_\text{тр} + N_A - \frac{N_\text{Б}}{\sqrt2} = 0, \qquad N_B - \frac{N_\text{Б}}{\sqrt2} = 0\] и правило моментов относительно точки \(B\): \[N_\text{Б}(L - x) = N_A\frac{2L}{\sqrt2}.\] Из второго закона Ньютона для бусинки в проекции на ось, перпендикулярную стержню, получим, что \(N_\text{Б} = mg/\sqrt2\). Решив систему уравнений, найдем: \[N_A = \frac{mg}{2}\cdot\left(1 - \frac{x}{L}\right), \qquad N_B = \frac{mg}{2}, \qquad F_\text{тр} = \frac{mgx}{2L}.\] Проскальзывание начнется при \(F_\text{тр} = \mu N_B\), то есть если \[\frac{mgx}{2L} = \frac{\mu mg}{2} \;\Rightarrow\; x = \mu L.\] Отсюда при условии, что \(x < L\), получим \(\mu < 1\). До начала проскальзывания бусинка движется равноускоренно с ускорением \(a = g/\sqrt2\). Начальная скорость бусинки равна нулю, поэтому \[v^2 = 2ax \;\Rightarrow\; v^2 = 2\cdot\frac{g}{\sqrt2}\cdot\mu L \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\sqrt2\,\mu gL}.\]
Силу взаимодействия стержня с вертикальной стенкой также можно определить двумя способами.
Первый способ. Изобразим на рисунке условие равенства нулю равнодействующей сил, действующих на стержень (см. рис.).
Обратим внимание, что из второго закона Ньютона для бусинки в проекции на ось, перпендикулярную стержню, \(N_\text{Б} = \mathrm{const} = mg/\sqrt2\). Тогда имеем \[N_A = \frac{mg(1 - \operatorname{tg}\varphi)}{2}.\] В момент отрыва \(\operatorname{tg}\varphi = \mu\), поэтому \[N_A = \frac{mg(1 - \mu)}{2}.\] Как мы выяснили выше, описанная в условии ситуация возможна только при \(\mu < 1\), тогда \(N_A > 0\). Это означает, что наше предположение о том, что проскальзывание начнется раньше переворота, справедливо, а полученные ответы верны.
Второй способ. Так как в момент начала проскальзывания \(x = \mu L\), \[N_A = \frac{mg}{2}\cdot\left(1 - \frac{x}{L}\right) = \frac{mg(1 - \mu)}{2}.\] Как мы выяснили выше, описанная в условии ситуация возможна только при \(\mu < 1\), тогда \(N_A > 0\). Это означает, что наше предположение о том, что проскальзывание начнется раньше переворота, справедливо, а полученные ответы верны.
Линейка эллипсографа
5/10Ползуны движутся по гармоническому закону, середина стержня — гипотенузы прямоугольного треугольника — удалена от начала на l/2, значит идёт по окружности равномерно; ускорение ω²l/2.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Бусинки на проволочном угле
5/10Две бусинки на сторонах прямого угла соединены стержнем; условия нерастяжимости и сохранения энергии дают скорость второй бусинки как функцию угла наклона стержня, а максимум находится по производной.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шайбы на стержне и проволоке
5/10Одна шайба ходит вдоль проволоки, вторая связана с ней жёстким стержнем: проекции скоростей на стержень равны, энергия сохраняется, из этих связей находится отношение скоростей шайб при заданном угле (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Два ползуна и шарнир между стержнями
5/10Ползуны движутся навстречу со скоростями v и 2v; в системе отсчёта, где они симметричны, шарнир движется вертикально (проекции скоростей на стержни), затем скорость относительно земли — сложением скоростей.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарнирный механизм Липкина — Посселье
6/10В шарнирном механизме с ромбом точка M идёт по окружности; доказать, что точка N при этом движется по прямой, показав через теорему Пифагора и прямой угол на диаметре, что проекция AN на линию AN постоянна (инверсия).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Стержень в двугранном угле
6/10Концы жёсткого стержня скользят по двум граням угла; проекции скоростей концов на ось стержня равны, отсюда по заданным положениям и углу находим скорость верхнего конца.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
В лунке
6/10Стержень длиной 2R опирается на уступ лунки, его конец A скользит по сфере с постоянной скоростью v; найти скорость конца B от угла α через условие нерастяжимости и мгновенный центр вращения.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Три шарика на стержнях в сфере
6/10Три шарика, связанные невесомыми стержнями, касаются гладкой сферы; сразу после освобождения найти ускорения — связи стержней и реакции сферы.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Муфта, кольцо и нить
6/10Муфту тянут по прямой, кольцо скользит по дуге окружности, они связаны нерастяжимой нитью: равенство проекций скоростей на нить даёт скорость кольца и скорость относительно муфты, сила натяжения — из движения кольца по окружности (проекция на нормаль). (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Муфта на спице
6/10Невесомая спица на шарнире с гладкой муфтой: нормальная сила на невесомую спицу не создаёт момента, поэтому муфта падает свободно, а спица остаётся направленной на неё; скорость конца в момент схода из геометрии.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Кривошипно-ползунный механизм
6/10Кривошип вращается равномерно, шатун и ползун связаны нерастяжимо: скорость и ускорение ползуна из проекций скоростей на шатун, сила натяжения из второго закона, момент кривошипа из равенства моментов.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарики на нитях и стержне
6/10Шарики на нитях скреплены лёгким стержнем; сразу после освобождения скорости нулевые, ускорения связаны условием нерастяжимости стержня и нити, найти ускорение и силу стержня (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарнир и колечко
7/10Два невесомых стержня с шарниром массы M, грузом на конце верхнего и колечком на горизонтальной спице; из кинематических связей (проекции скоростей, центростремительные добавки) и законов динамики найти ускорения шарнира и груза сразу после старта и ускорение колечка, когда все три тела окажутся на одной прямой.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Бусинки на изогнутой проволоке
7/10Бусинки m и 2m на гладкой проволоке под углом 120° связаны нитью; найти натяжение сразу после включения силы F и скорость при подходе к вершине угла (связь скоростей, энергия). Регионы.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Падающий стержень и мгновенный центр
6/10Вертикальный стержень длиной \(l\) стоит на гладкой горизонтальной поверхности. В какой-то момент он теряет устойчивость и падает. По какой траектории движется мгновенный центр вращения стержня во время его падения?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКуда направлена скорость центра масс, пока нет горизонтальных сил? А скорость нижнего конца? Мгновенный центр лежит на перпендикулярах к этим скоростям.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветМгновенный центр вращения движется по четверти окружности радиусом \(l/2\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеВдоль поверхности на стержень не действует внешних сил, следовательно, центр масс системы движется вдоль вертикальной линии. Нижняя точка \(A\) стержня движется горизонтально без отрыва от поверхности. Положение мгновенного центра вращения (МЦВ) в произвольный момент указано на рисунке. Расстояние от точки \(B\) до МЦВ в любой момент времени равно \(l/2\). Следовательно, МЦВ движется вдоль четверти окружности радиусом \(l/2\).
Механизм
6/10На рис. 1 изображена схема кривошипно-шатунного механизма паровой машины с качающимся цилиндром. Кривошип \(OA\) длиной \(r\) вращается с угловой скоростью \(\omega\) вокруг точки \(O\). В точке \(A\) кривошип шарнирно соединен со стержнем \(AC\), продетым сквозь муфту, закрепленную на шарнире \(B\), так что муфта может свободно вращаться вокруг точки \(B\). \(OB = a\), \(AC > a + r\).
Чему равен угол \(\alpha\) в тот момент, когда угловая скорость муфты минимальна?
Определите максимальную угловую скорость муфты.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУгловая скорость муфты равна угловой скорости стержня. Разложите скорость точки \(A\) на составляющие вдоль стержня и поперёк него: вращает стержень только поперечная составляющая.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\sin\alpha = \dfrac{r}{a}\); 2) \(\Omega_{\max} = \omega\cdot\dfrac{r}{a-r}\).
Букашка на падающем стержне
7/10Жёсткий стержень \(AB\) длиной \(L\) лежит на горизонтальном полу, придвинутый одним из своих концов вплотную к вертикальной стене, как показано на рисунке. В точке \(A\) сидит букашка. В тот момент, когда конец \(A\) стержня начали двигать вверх вдоль стены с постоянной по модулю скоростью \(V\), букашка поползла по стержню с постоянной относительно стержня скоростью \(u\) в направлении конца \(B\), который скользит по полу, не отрываясь от него. Найдите максимальное расстояние \(S\) от стенки до букашки в процессе её движения по стержню.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВыразите расстояние от букашки до стенки через угол наклона стержня и пройденный букашкой путь. Подумайте, при каком угле наклона это расстояние максимально и успеет ли букашка добраться до конца стержня к этому моменту.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(S = \dfrac{u}{V}\cdot\dfrac{L}{2}\) при \(u < \sqrt2\,V\); \(S = L\sqrt{1-\left(\dfrac{V}{u}\right)^2}\) при \(u \geq \sqrt2\,V\).
Стержень, скользящий по сторонам угла
4/10Концы твёрдого стержня на сторонах прямого угла: проекции скоростей на стержень равны; находится скорость точки, делящей стержень в заданном отношении.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Силовой тренажёр
5/10Система рычагов и шарниров поднимает кресло плоскопараллельно; по грузу, уравновешивающему пустой тренажёр, и длинам плеч найти силу, которую прикладывает сидящий человек (правило моментов для двух рычагов).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Два ползуна на стержне
5/10Ползуны массой m и 2m на вертикальной и горизонтальной направляющих связаны невесомым стержнем; связь ускорений через tgα и второй закон Ньютона дают ускорения в начальный момент.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Два ползуна на стержне
5/10Ползуны массой m и 2m на гладких направляющих, связанных стержнем: из кинематической связи и второго закона Ньютона найти ускорения сразу после отпускания.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Два ползуна на стержне
5/10Ползуны m и 2m на взаимно перпендикулярных гладких направляющих со стержнем: связь ускорений a_B = a_A·tgα и уравнения Ньютона дают ускорения в начале движения.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Падающий стержень с шариками
5/10Стержень с шариками на концах соскальзывает на гладкой плоскости; центр масс идёт по вертикали, связь скоростей концов и энергия дают скорость верхнего шарика при заданном угле.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Самотормозящий механизм ползунов
6/10Ползуны на шарнирных стержнях под углом: нагрузка раскладывается на силы вдоль стержней, прижимающие ползуны к направляющим; самоторможение при трении, достаточном для удержания при любой нагрузке.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Три муфты
6/10Неупругий удар муфты C о муфту A, связанную шарнирным стержнем с муфтой B на перпендикулярных направляющих; скорости муфт сразу после удара из связи скоростей по стержню и импульсов вдоль направляющих (с ударной реакцией стержня).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Трёхзвенный механизм (антипараллелограмм)
6/10В антипараллелограмме противоположные углы равны; из равновесия стержней с моментами M1 и M2 и геометрии (теорема Пифагора) находится отношение моментов.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Бусинки на полуокружности
6/10Две бусинки на проволочной полуокружности, соединённые жёстким стержнем, отпускают без толчка; связь скоростей и закон сохранения энергии дают максимальную скорость первой бусинки.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Спица с грузами на кольце
6/10Кольцо скользит по горизонтальному стержню, спицу с грузами отпускают; закон сохранения импульса по горизонтали и энергии даёт скорости при вертикальном положении.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарнирный параллелограмм
6/10Стороны AB и AD параллелограмма вращаются с одинаковой по модулю угловой скоростью в разные стороны; найти угол BAD, при котором скорость точки C направлена вдоль CD (сложение скоростей и условие вдоль звена).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Кривошипно-шатунный механизм
6/10Кривошип вращается равномерно, шатун связан шарниром с ползуном в наклонных направляющих; найти угловую скорость шатуна через мгновенный центр скоростей или проекции скоростей на стержень.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шток и стержень со втулкой
6/10Шток движется со скоростью v, стержень AE шарнирно связан со штоком и проходит через поворотную втулку на расстоянии l; найти угловую скорость стержня через скорость точки у втулки.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Кривошипно-шатунный механизм в равновесии
6/10Для кривошипа, шатуна и ползуна без массы под углами 60° и 90° записать условия равновесия (силы вдоль шатуна, моменты); из условия на ползуне найти коэффициент трения.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Грузы со стержнем
6/10Грузы m и 4m на нитях соединены горизонтальным невесомым стержнем и отпущены; сразу после отпускания нужно найти ускорения с учётом связей (нити и стержень) и сил в них.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Кривошипно-кулисный механизм
6/10Кривошип равномерно вращается, кулиса скользит во втулках без трения; найти скорость и ускорение ползуна в момент, когда кривошип перпендикулярен OD, через связь скоростей и ускорений.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шатунный механизм
6/10Два ползуна с силами 2F и F на невесомых шатунах равной длины с прямым углом при шарнире: из моментов относительно шарнира находят реакции направляющих, затем силу на шарнир (величину и направление) из равенства нулю суммы сил.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Два шарика на стержнях с шарниром
6/10Внешние силы вертикальны, значит центр масс движется только по вертикали; в момент падения лёгкий шарик движется строго вниз (скорость из энергии), а место падения — из смещения шарнира, сохраняющего горизонтальную координату центра масс.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Обруч, стержень и груз на вертикальной направляющей
7/10Обруч качается на оси и через жёсткий стержень тянет груз по вертикали; при малых отклонениях скорость груза пренебрежимо мала, энергия записывается как у пружинного маятника с эффективными массой MR² и жёсткостью, откуда период.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Кривошипно-кулисный механизм
7/10Точка кулисы во втулке: скорость из нерастяжимости, тангенциальная часть ускорения — производная скорости, нормальная — из поворота кулисы; найти модуль и направление ускорения (оно не зависит от угла).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Бусинки на перпендикулярных направляющих
7/10Спица с концами на двух перпендикулярных направляющих: середина спицы движется по окружности с постоянной скоростью, бусинка на ней без скольжения по спице; найти скорость, трение и реакцию спицы (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.