Два рабочих копают колодец

Работа по подъёму грунта равна изменению его потенциальной энергии. Для грунта, лежащего на глубине, найдите потенциальную энергию через положение его центра тяжести.

Пусть первый рабочий выкопал колодец до глубины \(x\), \(\rho\) — плотность грунта, \(S\) — площадь сечения колодца. Он поднял грунт массой \(\rho Sx\) с центром тяжести на глубине \(x/2\), поэтому его работа равна изменению потенциальной энергии грунта: \[A_1 = \frac{\rho g S x^2}{2}.\] Второй рабочий поднимает грунт массой \(\rho S(h-x)\), лежащий между глубинами \(x\) и \(h\), центр тяжести которого находится на глубине \(\dfrac{x+h}{2}\): \[A_2 = \rho g S(h-x)\cdot\frac{x+h}{2} = \frac{\rho g S (h^2 - x^2)}{2}.\] Работы равны при \(x^2 = h^2 - x^2\), откуда \[x = \frac{h}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71\,h.\] Второй рабочий должен выкопать оставшиеся \(0{,}29\,h\).