Спутники на экране ЦУП

Подсказка

За один оборот спутника Земля поворачивается, и следующая точка пересечения экватора смещается на \(2\pi(1\mp\omega_{\text{З}}/\omega)\); по этому смещению найдите угловую скорость, а радиус орбиты — из второго закона Ньютона с силой тяготения.

Ответ

1.1) в ту же сторону, что и Земля; 1.2) \(T=\dfrac{2}{9}T_{\text{З}}=5{,}3\) ч, \(\omega=3{,}3\cdot10^{-4}\text{ с}^{-1}\), \(r=1{,}6\cdot10^{7}\) м, \(v=5{,}1\cdot10^{3}\) м/с; 1.3) при уменьшении радиуса расстояние растёт, максимум \(\approx169^\circ\) (\(3{,}0\) рад); 2.1) \(T=12\) ч, \(r=2{,}7\cdot10^{7}\) м; 2.2) связь пропадает на \(\approx55\) мин каждые \(6\) ч.

Решение

Часть 1

1.1 Пусть \(\omega_{\text{З}}\) – угловая скорость вращения Земли вокруг оси, а \(\omega\) – угловая скорость вращения спутника. И пусть в начальный момент времени спутник пересекает экватор. За время одного оборота спутника (\(T = \frac{2\pi}{\omega} \omega_{\text{З}}\)) Земля повернется на угол \(\frac{2\pi}{\omega} \omega_{\text{З}}\).

Если движение спутника и Земли происходит в одном направлении, то следующее пересечение экватора произойдет на:

\[\Delta\varphi = 2\pi - 2\pi \frac{\omega_{\text{З}}}{\omega} = 2\pi \left(1 - \frac{\omega_{\text{З}}}{\omega}\right)\tag{1}\]

восточнее (на рисунке — правее) предыдущего.

Если же спутник и Земля вращаются в разных направлениях, то за один оборот спутник сместится относительно Земли на:

\[\Delta\varphi = 2\pi + 2\pi \frac{\omega_{\text{З}}}{\omega} = 2\pi \left(1 + \frac{\omega_{\text{З}}}{\omega}\right)\tag{2}\]

в западном (левом) направлении. Т.е. в любом случае больше, чем на \(360^\circ\).

Согласно рисунку 1 условия задачи, спутник смещается на 14 клеток (\(280^\circ\)), т. е. движется по направлению вращения Земли.

1.2 Уравнение (1) позволяет найти угловую скорость вращения спутника:

\[280^\circ = \frac{14}{9} \pi = 2\pi \left(1 - \frac{\omega_{\text{З}}}{\omega}\right)\tag{3}\]

Таким образом:

\[\omega = \frac{9}{2} \omega_{\text{З}} = 3{,}3 \cdot 10^{-4} \, c^{-1}\tag{4}\]

\[T_{\text{С}} = \frac{2}{9} T_{\text{З}} = 5{,}3 \, \text{ч}\tag{5}\]

Радиус орбиты определим, записав Второй закон Ньютона:

\[m \omega_2 r = G \frac{M m}{r^2}\tag{6}\]

где \(M\) - масса Земли,

\(m\) - масса спутника.

Подставив \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) и \(GM = g R_{\text{З}}^2\), получим:

\[\frac{4\pi^2}{T^2} r = g \frac{R_{\text{З}}^2}{r^2}\tag{7}\]

Тогда радиус орбиты:

\[r = \left( \frac{g R_{\text{З}}^2 T^2}{4\pi^2} \right)^{1/3} = 1{,}6 \cdot 10^7 \, \text{м}\tag{8}\]

Линейная скорость движения спутника:

\[v = \frac{2\pi r}{T} = 5{,}1 \cdot 10^3 \, \text{м/с}\tag{9}\]

\[\Delta \varphi = \pi \left( 1 - \frac { \omega _ { 3 } } { \omega } \right)\tag{10}\]

Это и есть расстояние между двумя последовательными точками пересечения экватора. При уменьшении радиуса орбиты угловая скорость увеличивается. Следовательно, увеличивается и искомое расстояние.

Максимальное значение угловой скорости спутника достигается на орбите, проходящей в непосредственной близости к поверхности Земли. Записав Второй закон Ньютона:

\[m \omega _ { m a x } ^ { 2 } R _ { 3 } = m g\tag{11}\]

получим:

\[\omega _ { m a x } = \sqrt { g / R _ { 3 } } = 1 { , } 2 \cdot 1 0 ^ { - 3 }\tag{12}\]

Тогда максимальное расстояние между двумя точками последовательного пересечения экватора:

\[\Delta \varphi = \pi \left( 1 - \frac { \omega _ { 3 } } { \omega _ { \mathrm { m a x } } } \right) = 3 { , } 0 \, \text{рад} = 1 6 9 ^ { \circ }\tag{13}\]

Часть 2

2.1 Т.к. спутники одновременно пересекают линию экватора, то периоды их обращения по орбитам одинаковы, а значит, равны и радиусы орбит. Изображенные на рисунке 2 условия задачи траектории соответствуют спутникам, двигающимся по одной орбите в разных направлениях.

Если спутник движется по направлению вращения Земли («сжатая» траектория), то расстояние, которое проходит спутник относительно Земли за один оборот, равно \(180^\circ\) (9 клеток). Согласно (1), угловая скорость вращения равна:

\[\omega = 2 \omega _ { 3 }\tag{14}\]

Аналогично можно рассуждать, рассматривая движение второго спутника. Для него выражение (1) будет иметь вид:

\[\Delta \varphi = \pi \left( 1 + \frac { \omega _ { 3 } } { \omega } \right)\tag{15}\]

За один оборот этот спутник смещается относительно Земли на 27 клеток, т. е. на \(540^\circ\). Подставляя это значение в (15), получим тот же ответ (14).

Таким образом, период обращения по орбите равен:

\[T = T _ { 3 } / 2 = 1 2 { \mathrm { q } }\tag{16}\]

Радиус орбит спутников равен:

\[r = \left( \frac { g R _ { 3 } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 3 } = 2 { , } 7 \cdot 1 0 ^ { 7 } \, \text{м}\tag{17}\]

2.2 Пусть спутники встретились в точке \(A\) (рис. 1). Между ними будет возможна прямая связь, пока они не достигнут точек \(B\) и \(B'\) соответственно. В течение времени, необходимом для перемещения в точки \(C\) и \(C'\), связь будет отсутствовать.

Таким образом, связь исчезает на время:

\[\Delta t _ { 1 } = \beta / \omega\tag{18}\]

с периодичностью

\[\Delta t_{2}=T / 2=6 \text { ч }\tag{19}\]

Угол \(\beta\) найдем из равнобедренного треугольника \(O B C\).

\[\begin{aligned}\sin \frac{\beta}{2}=\frac{R_{\text{З}}}{r} \qquad(20) \\ \beta=0.48 \text{ рад } \qquad(21)\end{aligned}\]

Тогда время молчания:

\[\Delta t_{1}=\frac{T \cdot 0.48}{2 \pi}=0.92 \text { ч }=55 \text { мин }\tag{22}\]

Часть 3

Один из возможных траекторий изображены на рис. 2. Спутник движущийся по направлению вращения Земли пересекает экватор через каждые а движущийся против — через \(300^{\circ}\). «Размах» траекторий в вертикальном направлении составляет \(45^{\circ}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.