Электронный газ и неоднородный проводник

Электроны проводимости ведите как идеальный газ с концентрацией, равной концентрации атомов; дрейфовая скорость связана с током через \(I=n_0eS\langle v\rangle\), а закон Ома получается из равноускоренного движения между столкновениями.

1.1) \(n_0=8{,}4\cdot10^{28}\text{ м}^{-3}\); 1.2) \(\langle v_{\text{кв}}\rangle=1{,}2\cdot10^{5}\) м/с; 1.3) \(T_e=8{,}8\cdot10^{4}\) К; 1.4) \(P=1{,}0\cdot10^{11}\) Па; 2.1) \(\langle v_{\text{др}}\rangle=7{,}4\cdot10^{-5}\) м/с; 2.2) \(E=1{,}0\) В/м; 2.3) \(I=\dfrac{n_0e^2\tau S}{2mL}\,U\), \(\rho=\dfrac{2m}{n_0e^2\tau}\), \(\tau=5{,}0\cdot10^{-14}\) с; 3.1) \(\varphi=\varphi_0\dfrac{\rho_2}{\rho_1+\rho_2}=213\) В; 3.3) \(E=j\rho_1\left(1+\beta\dfrac{x}{L}\right)\), \(\varphi(\xi)=U\left(1-\dfrac{(2+\beta\xi)\xi}{2+\beta}\right)\), \(\beta=\rho_2/\rho_1=30\).

1.1 Концентрация свободных электронов равна концентрации атомов меди, следовательно: \(n_{0} = \frac{N}{V} = \frac{D}{m_{\text{Cu}}}\); \(m_{\text{Cu}} = \frac{M}{N_{\text{A}}} \Rightarrow\)

\[n_{0} = \frac{D N_{\text{A}}}{M};\tag{1}\]

\[n_{0} = \frac{8{,}9 \cdot 10^{3} \cdot 6{,}02 \cdot 10^{23}}{6{,}4 \cdot 10^{-2}} = 8{,}4 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3}.\tag{1'}\]

1.2. Тепловое равновесие означает, что электронному газу можно присвоить температуру, равную температуре меди. В результате:

\[\langle v_{\text{кв.}} \rangle = \sqrt{\frac{3kT}{m}};\tag{2}\]

\[\langle v_{\text{кв.}} \rangle = \sqrt{\frac{3 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}} = 1{,}2 \cdot 10^{5} \frac{\text{м}}{\text{с}}.\tag{2'}\]

1.3.

\[\langle v_{\text{кв.}} \rangle = \sqrt{\frac{3kT_{e}}{m}} \Rightarrow T_{e} = \frac{m \langle v_{\text{кв.}} \rangle^{2}}{3k};\tag{3}\]

\[T_{e} = \frac{9{,}1 \cdot 10^{-31} \cdot (2 \cdot 10^{6})^{2}}{3 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23}} = 8{,}8 \cdot 10^{4} \text{ К}.\tag{3'}\]

1.4.

\[p = n_{0} k T_{e};\tag{4}\]

\[p = 8{,}4 \cdot 10^{28} \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 8{,}8 \cdot 10^{4} = 1{,}0 \cdot 10^{11} \text{ Па}\tag{4'}\]

Это очень большое давление. Однако при его выводе не учитывались положительные ионы кристаллической решетки, взаимодействие с которыми уменьшает давление электронного газа. Полученное значение является парциальным давлением электронного газа, к которому необходимо добавить давление электрического поля, создаваемого положительным зарядом, которое противоположно по знаку.

Часть 2.

2.1. По определению сила тока: \(I = \frac{\Delta q}{\Delta t}\); \(\Delta q = \Delta N e\), где \(\Delta N\) количество электронов, способных за промежуток времени пересечь поперечное сечение проводника. \(\Delta N = n_{0} \Delta V\), \(\Delta V = S \Delta l = S \langle v_{\text{др.}} \rangle \Delta t\) (см. рисунок). В итоге: \(\Delta q = n_{0} e S \langle v_{\text{др.}} \rangle \Delta t \Rightarrow I = n_{0} e S \langle v_{\text{др.}} \rangle \Rightarrow\)

\[\langle v_{\text{др.}} \rangle = \frac{I}{n_{0} e S};\tag{5}\]

\[\langle v _ { \text{др.}} \rangle = \frac { 1 } { 8 { , } 4 \cdot 1 0 ^ { 2 8 } \cdot 1 { , } 6 \cdot 1 0 ^ { - 1 9 } \cdot 1 } = 7 { , } 4 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \, \frac { \text{м} } { \text{с} } .\tag{5'}\]

Это очень малая скорость, особенно по сравнению со скоростью хаотического движения электронов. Тем не менее, с такой скоростью дрейфует много электронов, в результате этого получается заметный ток.

2.2. Для однородного поля:

\[E = \frac { U } { L } \, ; \quad E = 1 { , } 0 \, \frac { \text{В} } { \text{м} } .\tag{6}\]

2.3. Средняя скорость равноускоренного движения из состояния покоя равна \(\frac{1}{2}v_{\text{max}}\) и совпадает со средней скоростью дрейфа: \(\frac{1}{2}v_{\text{max}} = \langle v_{\text{др.}} \rangle \Rightarrow\) (учитывая (5)):

\[v_{\text{max}} = \frac{2I}{n_0 e S} .\tag{7}\]

С другой стороны: \(v_{\text{max}} = a \tau\), где ускорение: \(a = \frac{eE}{m} = \frac{eU}{mL} \Rightarrow\)

\[\frac{eU}{mL} \tau = \frac{2I}{n_0 e S} \quad \Rightarrow \quad I = \frac{n_0 e^2 \tau S}{2mL} U .\tag{8}\]

Сила тока пропорциональна напряжению, это и есть закон Ома. Сопротивление:

\[R = \frac{U}{I} \quad \Rightarrow R = \frac{2mL}{n_0 e^2 \tau S} .\tag{9}\]

Сравнивая полученное выражение с формулой \(R = \rho_1 \frac{L}{S}\), получим:

\[\rho_1 = \frac{2m}{n_0 e^2 \tau} \quad \Rightarrow \quad \tau = \frac{2m}{n_0 e^2 \rho_1} ;\tag{10}\]

\[\tau = \frac{2 \cdot 9{,}1 \cdot 10^{-31}}{8{,}4 \cdot 10^{28} \cdot (1{,}6 \cdot 10^{-19})^2 \cdot 1{,}7 \cdot 10^{-8}} = 5{,}0 \cdot 10^{-14} \, \text{с} .\tag{10'}\]

3.1. Сопротивление первого проводника: \(R_1 = \rho_1 \frac{l_1}{S}\), второго — \(R_2 = \rho_2 \frac{l_2}{S}\). Сила тока в проводниках: \(I_1 = \frac{\varphi_0 - \varphi_1}{R_1} = \frac{\varphi_0 - \varphi_1}{\rho_1 l_1} S\); \(I_2 = \frac{\varphi_1 - 0}{R_2} = \frac{\varphi_1}{\rho_2 l_2} S\). Поскольку при последовательном соединении сила тока в проводниках одинакова,

\[I_1 = I_2 \quad \Rightarrow \quad \frac{\varphi_0 - \varphi_1}{\rho_1 l_1} S = \frac{\varphi_1}{\rho_2 l_2} S \quad \Rightarrow \quad \varphi_1 = \varphi_0 \frac{\rho_2 l_2}{\rho_1 l_1 + \rho_2 l_2} .\tag{12}\]

При \(l_1 = l_2\): \(\varphi = \varphi_0 \frac{\rho_2}{\rho_1 + \rho_2}\); \(\varphi_1 = 220 \cdot \frac{5{,}1 \cdot 10^{-7}}{1{,}7 \cdot 10^{-8} + 5{,}1 \cdot 10^{-7}} = 213\) В.

3.2. Закон Ома: \(I = \frac{\varphi_0 - \varphi}{R} \Rightarrow \varphi = \varphi_0 - I \rho \frac{l}{S}\). Зависимость потенциала \(\varphi\) от длины проводника \(l\) линейная, \(\varphi\) равномерно убывает в медном проводнике от \(\varphi_0\) до \(\varphi_1\), а в проводнике из константана от \(\varphi_1\) до 0.

Напряжённость поля в каждом проводнике постоянная, однако, на границе соединения проводников претерпевает разрыв, в результате в проводнике из меди \(E_1 = \frac{\varphi_0 - \varphi_1}{l} = \frac{7{,}0}{l} \left( \frac{\text{В}}{\text{м}} \right)\), а в проводнике из константана \(E_2 = \frac{\varphi_1}{l} = \frac{213}{l} \left( \frac{\text{В}}{\text{м}} \right)\).

3.3. Совместим ось \(Ox\) с осью проводника, поместив начало оси на положительный конец. Удельное сопротивление материала проводника изменяется по закону:

\[\rho = \rho_1 \left( 1 + \beta \frac{x}{L} \right), \text{ где } \beta = \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{5{,}1 \cdot 10^{-7}}{1{,}7 \cdot 10^{-8}} = 30.\tag{14}\]

Так как сила тока постоянна в любом сечении проводника, то для плотности тока (которая также постоянна) можно записать

\[j = \frac{1}{\rho} E = const.\tag{15}\]

Откуда следует, что напряжённость электрического поля изменяется по закону

\[E = j \rho = j \rho_1 \left( 1 + \beta \frac{x}{L} \right).\tag{16}\]

В этой зависимости нам не известна плотность тока, которую можно найти, зная значения потенциалов на концах проводника. Построим график зависимости модуля напряжённости от координаты. Площадь под графиком от точки \(x = 0\) до некоторого значения \(X\) численно равна разности потенциалов между этими точками. Поэтому потенциал в точке с координатой \(X\) равен

\[\varphi ( x ) = U - \frac { 1 } { 2 } ( E ( 0 ) + E ( x ) ) \cdot x = U - \frac { 1 } { 2 } j \rho _ { 1 } \left( 2 + \beta \frac { x } { L } \right) x \, .\tag{17}\]

Эта функция при \(x = L\) должна обращаться в нуль, что и дает возможность определить неизвестную постоянную:

\[U - \frac { 1 } { 2 } j \rho _ { 1 } ( 2 + \beta ) L = 0 \quad \Rightarrow \quad j = \frac { U } { \displaystyle { \frac { 1 } { 2 } \rho _ { 1 } ( 2 + \beta ) L } } \, .\tag{18}\]

Таким образом, получаем окончательное выражение для распределения потенциала

\[\varphi ( x ) = U - \frac { 1 } { 2 } j \rho _ { 1 } \left( 2 + \beta \frac { x } { L } \right) x = U - U \frac { \left( 2 + \beta \displaystyle { \frac { x } { L } } \right) x } { ( 2 + \beta ) L } \, .\tag{19}\]

Если обозначить \(\xi = \frac { x } { L }\), то эта функция приобретает вполне удобоваримый вид банальной параболы (с учетом \(\beta = 3 0\)):

\[\begin{array} { c } { { \displaystyle { \varphi ( x ) = U \left( 1 - \frac { ( 2 + \beta \xi ) \xi } { ( 2 + \beta ) } \right) = } } } \\ { { \displaystyle { = U \left( 1 - \frac { ( 2 + 3 0 \xi ) \xi } { 3 2 } \right) } } } \end{array} .\]

График этой функции показан на следующем рисунке.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.