Опыты Жана Перрена

Во вращающемся сосуде на частицу действуют сила Стокса и «архимедова» центробежная сила; распределение частиц по высоте такое же, как у молекул газа в поле тяжести, поэтому половинная высота определяет постоянную Авогадро.

1.1) \(V=\dfrac{R^2(\rho-\rho_0)\omega^2r}{9\eta}\); 1.2) уменьшится в 4 раза; 1.3) \(V\approx0{,}010\) м/с; 1.4) \(t\approx4{,}3\) с; 2.1) \(V\approx9{,}55\cdot10^{-6}\) м/с; 2.2) \(t\approx5{,}2\cdot10^{3}\) с (около полутора часов); 3.1) \(\Delta h\approx77{,}6\) м \(\approx80\) м; 3.3) \(h_{1/2}=0{,}69\,\dfrac{RT}{Mg}\), \(N_A\approx7\cdot10^{23}\text{ моль}^{-1}\).

1.1 На частицу во вращающейся жидкости в радиальном направлении действуют сила вязкого трения (сила Стокса) \(F_{\text{С}} = 6\pi\eta RV\) и сила Архимеда \(F_{\text{А}} = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_0 \omega^2 r\). Эти силы сообщают частице центростремительное ускорение \(a = \omega^2 r\). Пренебрегая изменением модуля скорости частицы относительно жидкости. На основании второго закона Ньютона запишем уравнение

\[\frac{4}{3}\pi R^3 \rho \omega^2 r = 6\pi\eta RV + \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_0 \omega^2 r,\tag{1}\]

Из которого находим скорость радиального движения частицы

\[V = \frac{R^2 (\rho - \rho_0) \omega^2 r}{9\eta}.\tag{2}\]

Данная задача также может быть решена в неинерциальной вращающейся системе отсчета, связанной с жидкостью.

1.2 Так как скорость частицы пропорциональна квадрату ее радиуса, то при уменьшении радиуса в два раза, скорость уменьшится в 4 раза.

1.3 Подстановка численных значений приводит к результату

\[V = \frac{R^2 (\rho - \rho_0) \omega^2 r}{9\eta} = \frac{\left(0{,}212 \cdot 10^{-6}\right)^2 \text{ м}^2 \cdot (1{,}194 - 0{,}998) \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \left(2500 \frac{2\pi}{60}\right)^2 \text{с}^{-2} \cdot 0{,}15 \text{м}}{9 \cdot 1{,}005 \cdot 10^{-6} \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{м}^2 \cdot \text{с}^2} \cdot \text{с}} =\tag{3}\]

\[= 0{,}010 \frac{\text{м}}{\text{с}}\]

1.4 Из формулы (2) следует, что скорость частицы пропорциональная расстоянию до оси вращения, поэтому движение такой частицы не является равномерным. Для оценки времени движения можно использовать среднее арифметическое скоростей движения частицы в начале и конце рассматриваемого интервала. Для упрощения численных расчетов зависимость скорости от расстояния запишем в виде

\[V(r) = V_0 \frac{r}{r_0},\tag{4}\]

где \(V_0\) - скорость частицы на расстоянии \(r_0\), причем в качестве этих величин используем численные значения, рассчитанные в п. 1.2. Указанная оценка времени движения частицы дает

\[\tilde{t} = \frac{2l}{V_0 + V_0 \frac{r_0 + l}{r_0}} = \frac{2 \cdot 0{,}05}{0{,}010 \left(1 + \frac{20}{15}\right)} \approx 4{,}3 \text{с}\tag{5}\]

Дополнение. Точный расчет времени движения также может быть проведен. Из уравнения (4), записанного в дифференциальной форме следует, что закон движения имеет экспоненциальный вид

\[\frac{dr}{dt} = V_0 \frac{r}{r_0} \quad \Rightarrow \quad r = r_0 \exp\left(\frac{V_0}{r_0} t\right).\]

Из точного закона движения находим время смещения частицы на расстояние \(l\) :

\[\widetilde { t } = \frac { r _ { 0 } } { V _ { 0 } } \ln \frac { r _ { 0 } + l } { r _ { 0 } } = \frac { 0 { , } 1 5 0 } { 0 { , } 0 1 0 } \ln \frac { 2 0 } { 1 5 } = 4 { , } 3 2 \, c \, .\]

Часть 2. Определение размеров частиц.

2.1 Для определения скорости опускания частиц достаточно в формуле (2) заменить центростремительное ускорение ускорением свободного падения. Расчет скорости в этом случае приводит к следующему значению кг (\(\cdot\)$-\(6)2\)\cdot\((\)-\()\)\cdot\(3\)\cdot$$-\(2\)\cdot\(2,021210м,1194,099810,981см R(\)\rho$$-$$\rho\()g3 0м V=== 9\)\eta\(кг\)\cdot\(м 9\)\cdot\(,1005\)\cdot\(с(6) м2\)\cdot\(с2\)-\(м =,955\)\cdot\(106 с M8 M9 \textbf{2.2} Скорость движения в данном случае постоянна, поэтому время движения рассчитывается по формуле M10 что примерно равно полутора часам. \begin{ris} \includegraphics{3-fig10.png} \end{ris} \textbf{Часть 3. Распределение частиц по высоте.} \textbf{3.1} При постоянной температуре концентрация молекул газа пропорциональна давлению газа. Изменение давления с высотой связано с действием силы тяжести. В пределах слоя малой толщины можно считать давление (а также концентрацию и плотность) постоянным. Тогда для изменения\)\Delta P\(давления при подъеме на высоту\)\Delta h\(справедливо выражение (где плотность газа выражена из уравнения состояния): M11 Полагая\)\displaystyle \frac { \Delta P } { P } = 1 % = 0 { , } 0 1\(, из этой формулы находим высоту M12 \textbf{3.2.} На каждом слое толщиной\)\left( \Delta h \right) _ { 1 % }\(концентрация убывает на 1\%, следовательно, с увеличением числа слоев концентрация убывает в геометрической прогрессии. Найдем, сколько слоев толщиной\)\left( \Delta h \right) _ { 1 % }\(необходимо пройти, чтобы, уменьшение концентрации составило 50\%. Для этого надо решить уравнение M13 Следовательно, высота, на которой концентрация убывает в два раза, равна M14 M15 \textbf{3.3} Так как к частицам применимы законы идеального газа, то применима и формула (11). Только в ней молярную массу молекул надо заменить «молярной» массой частиц\)M = N _ { A } m\(, где\)m\(- масса одной частицы. Кроме того, необходимо учесть действие силы Архимеда на частицу в воде, что приведет к появлению «эффективного» ускорения свободного падения\)g ^ { * }$. С учетом этих оговорок, из формулы (11) следует выражение для расчета постоянной Авогадро

\[h _ { 1 / 2 } = 0 { , } 6 9 \frac { R T } { M g } = 0 { , } 6 9 \frac { R T } { N _ { A } m g ^ { * } } \quad \Rightarrow \quad N _ { A } = 0 { , } 6 9 \frac { R T } { m g ^ { * } h _ { 1 / 2 } } \, .\tag{12}\]

Подстановка численных значений приводит к результату

\[\begin{aligned} N _ { A } & = 0 { , } 6 9 \frac { R T } { m g ^ { * } h _ { 1 / 2 } } = 0 { , } 6 9 \frac { R T } { \frac { 4 } { 3 } \pi R ^ { 3 } ( \rho - \rho _ { 0 } ) g h _ { 1 / 2 } } = \\ & = 0 { , } 6 9 \frac { 8 { , } 3 1 \frac { \text{Дж} } { \text{моль} \cdot \text{К} } \cdot 2 9 3 K } { \frac { 4 } { 3 } \pi ( 0 { , } 2 1 2 \cdot 1 0 ^ { - 6 } ) ^ { 3 } \, \text{м} ^ { 3 } \cdot ( 1 { , } 1 9 4 - 0 { , } 9 9 8 ) \cdot 1 0 ^ { 3 } \, \frac { \text{кг} } { \text{м} ^ { 3 } } \cdot 9 { , } 8 1 \, \text{с} ^ { - 2 } \cdot \text{м} \cdot 3 0 \cdot 1 0 ^ { - 6 } \, \text{м} } = \\ & = 7 { , } 2 3 \cdot 1 0 ^ { 2 3 } \, \text{моль} ^ { - 1 } \approx 7 \cdot 1 0 ^ { 2 3 } \, \text{моль} ^ { - 1 } \end{aligned}\tag{13}\]

Это значение немного превышает современное постоянной Авогадро, но это же было} первое ее экспериментальное измерение!

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.