Очки учителя

Два отражения дают две поверхности стекла: от передней свет отражается как от зеркала, от задней — пройдя стекло и вернувшись. Запишите формулу тонкой линзы для взгляда через очки и для каждого отражения; неизвестных две — кривизна задней поверхности и показатель преломления.

\(n=1{,}5\) (линза плоско-вогнутая, оптическая сила \(-0{,}2\) дптр, радиус задней поверхности \(2{,}5\) м).

Что происходит. Стекло очков — тонкая линза. Свет от ученика отражается от неё двумя способами: от передней поверхности (первое изображение) и от задней, пройдя через стекло (второе изображение). Если смотреть сквозь очки, они работают как обычная линза. Первое отражение показывает, что передняя поверхность плоская; взгляд через очки и второе отражение дают два уравнения для двух неизвестных — кривизны задней поверхности и показателя преломления \(n\). Главная идея — записать формулу тонкого элемента для каждого из двух последних изображений и исключить кривизну.

Обозначения. \(d=5\) м — расстояние до ученика; \(f_1=5\) м, \(f_2=\dfrac57\) м — расстояния до двух отражений (за стеклом), \(f_3=2{,}5\) м — расстояние до изображения через очки (мнимое, на стороне ученика). Все изображения мнимые. Линза тонкая, толщину стекла не учитываем. \(D\) — оптическая сила очковой линзы (в диоптриях, \(1\text{ дптр}=1\text{ м}^{-1}\)); \(\kappa\) — кривизна задней поверхности со знаком, выбранным так, что \(D=(n-1)\kappa\) (передняя поверхность плоская, это доказано в шаге 1).

1. Первое изображение — передняя поверхность плоская. Отражение от передней поверхности даёт изображение на таком же расстоянии за стеклом, \(f_1=d\). Так себя ведёт плоское зеркало (рис. 1). Сферическая поверхность радиуса \(R_1\) как зеркало имеет оптическую силу \(2/R_1\) и дала бы \(\dfrac1d-\dfrac1{f_1}=\dfrac2{R_1}\), то есть \(f_1\ne d\). Раз \(f_1=d\), кривизна передней поверхности равна нулю: линза плоско-вогнутая или плоско-выпуклая, кривая только задняя поверхность.

2. Взгляд через очки. Тонкая линза оптической силой \(D\) даёт мнимое изображение на расстоянии \(f_3\) по ту же сторону от линзы, что и предмет, поэтому формула линзы \[\frac1d-\frac1{f_3}=D\quad\Rightarrow\quad D=\frac15-\frac1{2{,}5}=-0{,}2\text{ дптр}.\] Линза рассеивающая, изображение уменьшено и ближе, как и получено в условии (рис. 2).

3. Второе изображение — отражение от задней поверхности. Свет входит в стекло через плоскую грань (линзы не создаёт), отражается от задней поверхности изнутри стекла и возвращается. Сферическое зеркало в стекле отличается от зеркала в воздухе: развернём ход лучей, заменив зеркало тонкой линзой той же оптической силы \(2\kappa\), а линзу очков, через которую свет проходит дважды, — двумя линзами силой \(D\) каждая. Оптические силы тонких элементов, поставленных вплотную, складываются: \[\Phi=D+2\kappa+D=2(n-1)\kappa+2\kappa=2n\kappa .\] Формула линзы для этого изображения (оно мнимое, на расстоянии \(f_2\) за стеклом, рис. 3): \[\frac1d-\frac1{f_2}=2n\kappa\quad\Rightarrow\quad2n\kappa=\frac15-\frac75=-1{,}2\text{ дптр},\quad n\kappa=-0{,}6\text{ дптр}.\]

4. Исключаем кривизну. Из шага 2 \(D=(n-1)\kappa=-0{,}2\) дптр, из шага 3 \(n\kappa=-0{,}6\) дптр. Делим одно на другое: \[\frac{n}{n-1}=\frac{-0{,}6}{-0{,}2}=3\quad\Rightarrow\quad n=\frac32=1{,}5,\qquad\kappa=-0{,}4\text{ м}^{-1},\quad|R|=2{,}5\text{ м}.\] В буквах: \(n=\dfrac{\Phi}{\Phi-2D}\), где \(\Phi=\dfrac1d-\dfrac1{f_2}\), \(D=\dfrac1d-\dfrac1{f_3}\).

Обратите внимание. Нельзя приписать отражению на расстоянии \(\dfrac57\) м переднюю поверхность, а на 5 м — заднюю: изображение на расстоянии, равном расстоянию до предмета, даёт только плоская поверхность, а плоской задняя поверхность быть не может, иначе линза не имела бы оптической силы. Если всё же поменять отражения местами, получится \(n<1\), что невозможно для стекла.

Проверка. Размерность: все слагаемые — оптические силы в \(\text{м}^{-1}\), \(n\) безразмерно. Подставим \(n=1{,}5\) и \(\kappa=-0{,}4\text{ м}^{-1}\) обратно: \(D=0{,}5\cdot(-0{,}4)=-0{,}2\) дптр, \(\dfrac1{f_3}=\dfrac15+0{,}2=0{,}4\) (\(f_3=2{,}5\) м); \(2n\kappa=-1{,}2\) дптр, \(\dfrac1{f_2}=\dfrac15+1{,}2=1{,}4\) (\(f_2=\dfrac57\) м) — оба условия выполнены. Показатель \(1{,}5\) — обычное оптическое стекло, а отрицательная сила и выпуклость задней поверхности «изнутри» согласуются: рассеивающий выпуклый (для света внутри стекла) отражатель даёт изображение, уменьшенное в \(\dfrac{5/7}{5}=\dfrac17\) раз.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.