Труба с зеркальной половиной

Обозначим через \(h\) высоту трубы, через \(r\) — радиус её основания. В первом случае (когда зеркальная сторона трубы ориентирована вниз) в фотоэлемент попадут лучи из областей, заштрихованных на рисунке 4.32.1, а во втором случае (когда труба перевёрнута) — из областей, заштрихованных на рисунке 4.32.2. По условию \(h \gg r\), поэтому все углы падения света на фотоэлемент маленькие.

Ввиду изотропности освещения потоки энергии, переносимые лучами света, падающими на зеркальные поверхности с разных сторон под заданными углами, одинаковы, если лучи по пути к фотоэлементу не попадают на препятствия. Поэтому для расчёта освещённости фотоэлемента до и после переворачивания трубы оптические системы, изображённые на рисунках 4.32.1 и 4.32.2, можно заменить на эквивалентные оптические системы, показанные на рисунке 4.32.3 и рисунке 4.32.4 соответственно (части трубы, контуры которых изображены на этих схемах, полностью поглощают свет).

В первом случае в фотоэлемент (точка \(O\)) попадёт световой поток из телесного угла \[\Omega_1 \approx \left(\dfrac{\pi r^2}{(h/3)^2} - \dfrac{\pi r^2}{(h/2)^2}\right) + \dfrac{\pi r^2}{h^2} = \dfrac{6\pi r^2}{h^2},\] а во втором случае — из телесного угла \[\Omega_2 \approx \dfrac{\pi r^2}{(h/2)^2} = \dfrac{4\pi r^2}{h^2}.\] При записи этих формул учтено, что \(h \gg r\), то есть \(\Omega_1 \ll 1\) и \(\Omega_2 \ll 1\).

Величина освещённости пропорциональна телесному углу, из которого падает свет. Поэтому отношение освещённостей во втором и в первом случаях равно \(\Omega_2/\Omega_1 = 2/3\). Отсюда \[E = \dfrac{2}{3}E_0.\]