Прогиб каната

Обозначим вертикальную координату произвольной точки каната через \(y\), а горизонтальную координату — через \(x\). Рассмотрим участок каната между двумя горизонтальными координатами \(x_1\) и \(x_2\). Поскольку канат сильно натянут, то угол его наклона к горизонту невелик, и косинус этого угла можно считать близким к единице. Масса выбранного участка равна \((x_2 - x_1)m/L\). Углы наклона каната к горизонту в точках с координатами \(x_1\) и \(x_2\) отличаются. За счёт различия этих углов при практически одинаковой силе натяжения каната на выбранный его участок действует суммарная вертикальная сила со стороны остальных частей каната, находящихся справа и слева от этого участка. Эта суммарная сила компенсирует силу тяжести, действующую на данный участок каната: \[F\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)_{x_2} - F\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)_{x_1} = \dfrac{(x_2 - x_1)mg}{L}.\] Разделим правую и левую части полученного равенства на \((x_2 - x_1)\). Получается, что вторая производная от координаты \(y\) по координате \(x\) равна постоянной величине: \(d^2y/dx^2 = mg/(LF)\).

Начнём отсчёт координаты \(x\) от самой нижней точки каната, а координату \(y\) будем отсчитывать от этой же точки вверх. Тогда точке с координатой \(L/2\) соответствует координата \(y(L/2)\), которая отличается от координаты \(y(0)\) в начальной точке на величину прогиба каната. Первая производная координаты \(y\) по \(x\) равна \(xmg/(LF)\). При такой зависимости первой производной от координаты \(x\) сама функция \(y(x)\) будет равна \(x^2mg/(2LF)\), а величина прогиба каната составляет \[y(L/2) = \dfrac{(L/2)^2mg}{2LF} = \dfrac{mgL}{8F}.\]