Сдвиг фаз во вращающемся цилиндре

Разность фаз набегает за счёт двух эффектов.

(а) Благодаря эффекту Доплера (см. решение задачи 4.3) частота световой волны, идущей в направлении вращения столика, увеличивается, а частота световой волны, идущей в противоположном направлении — уменьшается. Поскольку угол между направлением светового луча и скоростью источника равен \(\pi/3\), для изменения частоты волны, идущей по направлению движения источника, имеем: \[\Delta\omega_1 = \omega\dfrac{v}{c}\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\omega v}{2c}.\] Здесь \(v = \Omega R\) — скорость источника, \(\omega = 2\pi f\) — круговая частота световой волны. Аналогично для световой волны, идущей против направления движения источника, получаем: \[\Delta\omega_2 = -\dfrac{\omega v}{2c}.\] Таким образом, за счёт эффекта Доплера набегает разность фаз \[\Delta\varphi_1 = (\Delta\omega_1 - \Delta\omega_2)t = \omega\dfrac{v}{c}t,\] где \(t = 3R\sqrt3/c\) — время, за которое свет доходит от источника к приёмнику.

(б) Благодаря вращению системы длины путей, которые проходят световые волны, различны (см. рис. 4.37).

Обозначим угловое расстояние между источником «И» во время испускания света и приёмником «П» во время приёма световой волны через \(\alpha\). Кроме того, введём вспомогательные углы \(\beta = \dfrac{2\pi - \alpha}{3}\) и \(\gamma = \dfrac{2\pi + \alpha}{3}\). Очевидно, что \(\alpha \approx vt/R \ll 1\). Длина пути для волны, испущенной в направлении вращения, равна \[S_1 = 3\cdot 2R\sin\dfrac{\gamma}{2} = 6R\sin\left(\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\alpha}{6}\right).\] Для волны, идущей в противоположном направлении, длина пути равна \[S_2 = 3\cdot 2R\sin\dfrac{\beta}{2} = 6R\sin\left(\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\alpha}{6}\right).\] Поэтому разность длин путей для первой и второй волн равна \[\Delta S = S_1 - S_2 = 6R\sin\dfrac{\alpha}{6} \approx R\alpha \approx vt.\] За счёт этого набегает дополнительная разность фаз \[\Delta\varphi_2 = \omega\dfrac{\Delta S}{c} \approx \omega\dfrac{v}{c}t.\] Обе разности фаз \(\Delta\varphi_1\) и \(\Delta\varphi_2\) имеют одинаковый знак и поэтому складываются: \[\Delta\varphi_{\text{sum}} = \Delta\varphi_1 + \Delta\varphi_2 = 2\omega\dfrac{v}{c}t = \dfrac{4\pi f\Omega R}{c}\cdot\dfrac{3R\sqrt3}{c} = \dfrac{12\pi\sqrt3\,f\Omega R^2}{c^2}.\]