Давление света

Подсказка

Среднюю силу Лоренца даёт только та часть скорости электрона, что колеблется в фазе с полем волны. Давление света равно импульсу поглощённой за единицу времени энергии, делённому на \(c\).

Ответ

1.1) \(E_0=cB_0\); 1.2) \(I=\tfrac12c\varepsilon_0E_0^2\); 2.1) \(n=8{,}46\cdot10^{28}\) м\(^{-3}\); 2.2) \(\eta\approx2\cdot10^{-13}\); 2.3) \(\beta=\rho/(ne^2)\); 3.6) \(K=\dfrac{nhe^2}{c\varepsilon_0}\dfrac{\beta}{(m\omega)^2+\beta^2}\); 3.7) \(p=KI/c\).

Решение

1. Свойства электромагнитных волн.

1.1 В условии задачи подсказано, что средние плотности энергии электрического и магнитного полей волны равны. Поэтому вычислим усредненные значения плотностей этих энергий. Мгновенное значение плотности энергии электрического поля описывается функцией

\[w_E(t) = \frac{\varepsilon_0}{2} (E(t))^2 = \frac{\varepsilon_0 E_0^2}{2} \cos^2 \omega t\tag{1}\]

Усреднение по промежутку времени, значительно превышающему период световых колебаний, дает

\[\langle w_E \rangle = \frac{\varepsilon_0 E_0^2}{2} \langle \cos^2 \omega t \rangle = \frac{\varepsilon_0 E_0^2}{4}.\tag{2}\]

При выводе учтено, что среднее значение квадрата косинуса равно \(\langle \cos^2 t \rangle = \frac{1}{2}\). Аналогичные рассуждения дают аналогичный результат:

\[\langle w_B \rangle = \left\langle \frac{B_0^2}{2\mu_0} \cos^2 \omega t \right\rangle = \frac{B_0^2}{4\mu_0}.\tag{3}\]

Из равенства этих величин следует очень простое и красиво соотношение между амплитудами полей

\[\frac{\varepsilon_0 E_0^2}{4} = \frac{B_0^2}{4\mu_0} \quad \Rightarrow \quad E_0 = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} B_0 = c B_0.\tag{4}\]

1.2 Рассмотрим небольшую прямоугольную площадку площади \(\Delta S\) на которую нормально падает электромагнитная волна. На этой площадке, как на основании построим параллелепипед длиной \(c\Delta t\). Вся энергия волны, заключенная в этом параллелепипеде за время \(\Delta t\) успеет проскочить через выделенную площадку. Поэтому за время \(\Delta t\) через площадку пройдет энергия равная

\[\Delta W = (w_E + w_B) \Delta S \cdot c \Delta t.\tag{5}\]

Усредняя по времени, получим \(\Delta W = \langle w_E + w_B \rangle \Delta S \cdot c \Delta t\). Тогда интенсивность волны (по определению) будет равна

\[I = \frac{\Delta W}{\Delta S \cdot \Delta t} = c \langle w_E + w_B \rangle.\tag{6}\]

Принимая во внимание полученные выражения для средних плотностей энергии электрического и магнитного полей, получим выражение для интенсивности волны:

\[I = c \langle w_E + w_B \rangle = 2c \langle w_E \rangle = c \frac{\varepsilon_0 E_0^2}{2}.\tag{7}\]

2. Движение электронов в металле и их электрическое сопротивление.

2.1 Концентрация свободных электронов равна концентрации атомов в меди, которая рассчитывается элементарно:

\[n = \frac{\rho_{Cu}}{m_{Cu}} = \frac{\rho_{Cu}}{M_{Cu}} N_A = \frac{8{,}92 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{63{,}5 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}} 6{,}02 \cdot 10^{23} \frac{1}{\text{моль}} = 8{,}46 \cdot 10^{28} \text{м}^{-3}.\tag{8}\]

2.2 Напряженность электрического поля внутри металла равна нулю, так как внешнее поле компенсируется полем индуцированных зарядов. В данном случае индуцированные заряды локализуются на поверхности пластины, поэтому поверхностная плотность индуцированных зарядов связана с напряженностью создаваемого поля следующим соотношением

\[\sigma = \varepsilon_0 E\tag{9}\]

Здесь \(E\) - напряженность внешнего поля и она же напряженность поля индуцированных зарядов. Если площадь части пластинки равна \(S\), то число электронов, находящихся на этой площадке равно \(N' = \frac{\sigma S}{e}\) (\(e\) - заряд электрона), в то время как общее число свободных электронов в пластинке \(N = nSh\). Таким образом, доля электронов, которые под действием внешнего поля переместились на поверхность, равна

\[\eta = \frac{N'}{N} = \frac{\sigma}{enh} = \frac{\varepsilon_0 E}{enh}.\tag{10}\]

Подставляя численные значения параметров этой формулы (заметим, что \(E = 30 \frac{\text{кВ}}{\text{см}} = 3{,}0 \cdot 10^6 \frac{\text{В}}{\text{м}}\)), получим

\[\eta = \frac{\varepsilon_0 E}{enh} = \frac{8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 3{,}0 \cdot 10^6}{1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 8{,}46 \cdot 10^{28} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-2}} = 2{,}0 \cdot 10^{-13}.\tag{10}\]

Очень маленькая доля!

2.3 При установившемся значении силы тока электроны движутся с постоянной скоростью (конечно, в среднем), в этом случае сила, действующая на электрон со стороны электрического поля, уравновешивается силой сопротивления

\[eE = \beta v.\tag{11}\]

Отсюда следует, что средняя скорость движения электронов равна

\[v = \frac{eE}{\beta}.\tag{12}\]

Тогда плотность тока равна

\[j = env = \frac{e^2 n}{\beta} E.\tag{13}\]

Эта формула выражает закон Ома в дифференциальной форме, который традиционно записывается в виде

\[j = \frac { 1 } { \rho } E \, .\tag{14}\]

Сравнивая эти выражения, находим, что искомый и не совсем понятный коэффициент может быть рассчитан по вполне измеряемым параметрам

\[\beta = \frac { \rho } { n e ^ { 2 } } \, .\tag{15}\]

3. Давление света на поверхность металла.

3.1 Уравнение движение свободного электрона по второму закону Ньютона имеет вид

\[m a = e E _ { 0 } \cos \omega t \, .\tag{16}\]

\(m\) - масса электрона, \(a\) - его ускорение.

Из этого уравнения следует, что скорость электрона зависит от времени по закону

\[v ( t ) = \frac { e E _ { 0 } } { m \omega } \sin \omega t\tag{17}\]

Вектор скорости лежит в той же плоскости, что и вектор напряженности электрического поля.

3.2 Так как вектор скорости электрона и вектор индукции магнитного поля взаимно перпендикулярны, сила Лоренца равна произведению модулей этих векторов, т.е.

\[F _ { \text{Л} } = e v B = e \frac { e E _ { 0 } } { m \omega } \sin \omega t \cdot B _ { 0 } \cos \omega t \, .\tag{18}\]

Среднее по времени значение этой силы равно нулю, так как \(\langle \sin \omega t \cdot \cos \omega t \rangle = \frac { 1 } { 2 } \langle \sin 2 \omega t \rangle = 0\)

Итак, в этом случае

\[\langle F _ { \text{Л} } \rangle = 0 \, .\tag{19}\]

3.3 При наличии силы сопротивления уравнение движение электрона имеет вид

\[m a = e E _ { 0 } \cos \omega t - \beta v \, .\tag{20}\]

Используя подсказку, запишем

\[v ( t ) = C _ { 1 } \cos \omega t + C _ { 2 } \sin \omega t\tag{21}\]

Ускорение электрона находим, вычисляя производную от этой функции

\[a = - C _ { 1 } \omega \sin \omega t + C _ { 2 } \omega \cos \omega t \, .\tag{22}\]

Подставим эти функции в уравнение (20)

\[- C _ { 1 } m \omega \sin \omega t + C _ { 2 } m \omega \cos \omega t = e E _ { 0 } \cos \omega t - C _ { 1 } \beta \cos \omega t - C _ { 2 } \beta \sin \omega t \, .\tag{23}\]

Так как это выражение должно быть справедливым в любой момент времени, можно приравнять коэффициенты, стоящие «при синусах и косинусах», в результате чего получаем систему уравнений для определения коэффициентов функции (21)

\[\left\{ \begin{array} { l } { { - C _ { 1 } m \omega = - C _ { 2 } \beta } } \\ { { C _ { 2 } m \omega = e E _ { 0 } - C _ { 1 } \beta } } \end{array} \right. .\tag{24}\]

Решение этой системы элементарно:

\[C _ { 2 } = e E _ { 0 } \, \frac { m \omega } { ( m \omega ) ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } } \, ; \quad C _ { 1 } = e E _ { 0 } \, \frac { \beta } { ( m \omega ) ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } } \, .\tag{25}\]

Подставляя эти выражение в функцию (21), получим искомую функцию

\[v ( t ) = e E _ { 0 } \, \frac { \beta } { ( m \omega ) ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } } \cos \omega t + e E _ { 0 } \, \frac { m \omega } { ( m \omega ) ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } } \sin \omega t \, .\tag{26}\]

3.4 Так как в выражении для скорости присутствует слагаемое изменяющееся по закону косинуса, среднее значение силы Лоренца, действующее на один электрон, оказывается отличным от нуля. Действительно,

\[\left\langle F_{\text{Л}}^{(1)}\right\rangle=\langle e v B\rangle=\left\langle e\left(e E_{0} \frac{\beta}{(m \omega)^{2}+\beta^{2}} \cos \omega t+e E_{0} \frac{m \omega}{(m \omega)^{2}+\beta^{2}} \sin \omega t\right) B_{0} \cos \omega t\right\rangle=\]

\[=e^{2} \frac{E_{0} B_{0}}{2} \frac{\beta}{(m \omega)^{2}+\beta^{2}}=e^{2} \frac{E_{0}^{2}}{2 c} \frac{\beta}{(m \omega)^{2}+\beta^{2}}\tag{27}\]

Легко показать, что эта сила направлена по направлению распространения волны.

3.5 Так как в пластинке содержится \(N=n h S\) электронов, то суммарная средняя сила, действующая на пластинку оказывается равной

\[\left\langle F_{\text{Л}}\right\rangle=n h S e^{2} \frac{E_{0}^{2}}{2 c} \frac{\beta}{(m \omega)^{2}+\beta^{2}}\tag{28}\]

3.6 Поглощение волны происходит только потому, что на электроны действует тормозящая сила (равносильно — потому, что есть электрическое сопротивление). Мощность поглощенной одним электроном энергии есть мощность силы сопротивления

\[p^{(1)}=F_{\text{сопр.}} v=\beta v^{2}\tag{29}\]

Проводя усреднение по времени, получим

\[\left\langle p_{1}\right\rangle=\left\langle\beta v^{2}\right\rangle=\left\langle\beta\left(e E_{0} \frac{m \omega}{(m \omega)^{2}+\beta^{2}} \cos \omega t+e E_{0} \frac{\beta}{(m \omega)^{2}+\beta^{2}} \sin \omega t\right)^{2}\right\rangle=\]

\[=\frac{\left(e E_{0}\right)^{2}}{2} \frac{\beta}{(m \omega)^{2}+\beta^{2}}\tag{28}\]

При выводе учтено, что \(\left\langle\cos ^{2} \omega t\right\rangle=\left\langle\sin ^{2} \omega t\right\rangle=\frac{1}{2},\langle\cos \omega t \cdot \sin \omega t\rangle=0\) Мощность энергии, поглощенной всеми электронами равна

\[P_{\text{погл}}=N\left\langle p_{1}\right\rangle=n h S \frac{\left(e E_{0}\right)^{2}}{2} \frac{\beta}{(m \omega)^{2}+\beta^{2}}\tag{29}\]

Мощность энергии падающей на пластинку равна

\[P_{\text{пад.}}=I S=c \frac{\varepsilon_{0} E_{0}^{2}}{2} S\tag{30}\]

Следовательно, коэффициент поглощения волны равен

\[K=\frac{P_{\text{погл}}}{P_{\text{пад}}}=\frac{n h e^{2}}{c \varepsilon_{0}} \frac{\beta}{(m \omega)^{2}+\beta^{2}}\tag{31}\]

3.7 Давление света равно отношению силы (28) к площади пластинки

\[p=\frac{\left\langle F_{\text{Л}}\right\rangle}{S}=n h e^{2} \frac{E_{0}^{2}}{2 c} \frac{\beta}{(m \omega)^{2}+\beta^{2}}\tag{32}\]

Поэтому осталось выразить эту формулу через интенсивность падающей волны и коэффициент поглощения, что делается достаточно просто: просто переставим слагаемые в формуле (32)

\[p=\frac{\left\langle F_{\text{Л}}\right\rangle}{S}=n h e^{2} \frac{E_{0}^{2}}{2 c} \frac{\beta}{(m \omega)^{2}+\beta^{2}}=\left(\frac{n h e^{2}}{c \varepsilon_{0}} \frac{\beta}{(m \omega)^{2}+\beta^{2}}\right)\left(\frac{\varepsilon_{0} E_{0}^{2}}{2} c\right) \frac{1}{c}=K \frac{I}{c}\tag{33}\]

Заметим, что в точности такое же выражение для давления света следует и из квантовой теории.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.