Опыт Физо

Подсказка

Сдвиг полос равен изменению разности хода, делённому на длину волны. В опыте Физо она определяется изменением скорости света в движущейся воде, а закон Френеля следует из релятивистского сложения скоростей.

Ответ

1.1) \(\Delta x=1{,}1\) мм; 1.2) на \(5{,}5\) полосы вверх; 2.5) \(\Delta m=0{,}472\,\gamma\), при полном увлечении \(0{,}47\) против опытных \(0{,}24\); 2.6) \(\gamma\approx0{,}51\); 3.2) \(\gamma=1-1/n^2\approx0{,}435\).

Решение

Часть 1. Воспоминание об интерференции

Решение этой части задачи традиционное, оно изложено практически во всех учебниках физики. Поэтому ограничимся кратким изложением этого решения, с выделением деталей, существенных при описании экспериментов И. Физо.

1.1 В схеме Юнга интерферирую волны, идущие от двух источников \(S_1\) и \(S_2\). В точке экрана с координатой \(x\) (измеренной от оси симметрии системы) интенсивность будет максимальна, если разность хода от источников до точки наблюдения равна целому числу длин волн, т.е.

\[r_2 - r_1 = m\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2...)\tag{1}\]

Для расчета этой разности запишем на основании теоремы Пифагора

\[\begin{aligned} r_2^2 &= L^2 + \left(x + \frac{d}{2}\right)^2 \\ r_1^2 &= L^2 + \left(x - \frac{d}{2}\right)^2 \end{aligned}\tag{2}\]

Вычтем второе равенство из первого

\[r_2^2 - r_1^2 = (r_2 - r_1)(r_2 + r_1) = 2xd\tag{3}\]

Так как значения \(r_2, r_1\) мало отличаются от расстояния \(L\), которое значительно больше как расстояния между отверстиями \(d\), так и длины волны \(\lambda\), можно положить \((r_2 + r_1) \approx 2L\). Поэтому разность расстояний описывается формулой

\[(r_2 - r_1) = \frac{xd}{L}\tag{3}\]

Использование условия максимумов интерференции (1) позволят найти координаты точек максимальной интенсивности:

\[\frac{x_m d}{L} = m\lambda \quad \Rightarrow \quad x_m = m \frac{\lambda L}{d}.\tag{4}\]

Расстояние между соседними максимумами (т.е. ширина полосы) равно

\[\Delta x = x_{m+1} - x_m = \frac{\lambda L}{d}.\tag{5}\]

Подстановка численных значений дает результат

\[\Delta x = \frac{\lambda L}{d} = \frac{0{,}55 \cdot 10^{-6} \cdot 2{,}0}{1{,}0 \cdot 10^{-3}} = 1{,}1 \cdot 10^{-3} \, \text{м} = 1{,}1 \, \text{мм}\tag{6}\]

1.2 Самый простой способ решения этой части задачи можно найти, используя следующие простые (но общие для любой интерференционно схемы) рассуждения. Переход от одной интерференционной полосы к следующей соответствует увеличение разности хода на одну длину волны! Поэтому если оптическая длина пути в одном из каналов увеличивается на одну длину волны, то интерференционная картина смещается на одну полосу!

Сделаем еще одно замечание, касающееся понятия оптической длины пути. В теории интерференции основную роль играет разность фаз между интерферирующими волнами. Эта разность фаз зависит от длины волны, а именно изменение расстояния на одну длину волны приводит к изменению фазы на \(2\pi\). Поэтому для изменения фазы можно записать соотношение

\[\Delta\varphi = 2\pi \frac{\Delta r}{\lambda}.\tag{7}\]

Если свет распространяется в среде с показателем преломления \(n\), то длина волны уменьшается в \(n\) раз, поэтому изменение фазы при распространении света в среде будет равно

\[\Delta\varphi = 2\pi \frac{\Delta r}{(\lambda_0/n)} = 2\pi \frac{n\Delta r}{\lambda_0}.\tag{8}\]

где \(\lambda_0\) - длина волны в вакууме.

При подобных расчетах удобно считать, что длина волны остается неизменной и равной \(\lambda_0\), а увеличивается длина пути. Именно в этом смысл введения такого понятия, как оптическая длина пути \(l = n\Delta r\).

Теперь совсем просто найти смещение интерференционной картины при наличии стеклянной пластинки. Пластинка увеличивает оптическую длину пути для волн от верхнего источника на величину

\[\Delta l = (n-1)h.\tag{9}\]

Если это увеличение разделить на длину волны (в вакууме!), то получим величину смещения интерференционной картины в единицах ширины полосы, т.е.

\[\frac{\Delta l}{\lambda} = \frac{\delta}{\Delta x} = \Delta m\tag{9}\]

В рассматриваемой задаче это смещение равно

\[\Delta m = \frac{(n-1)h}{\lambda} = \frac{(1{,}6-1)\cdot 5{,}0\cdot 10^{-6}}{0{,}55\cdot 10^{-6}} \approx 5{,}5.\tag{10}\]

Таким образом, интерференционная картина сместится на пять с половиной полос вверх.

Часть 2. Эксперимент И. Физо – скорость света в движущейся воде.

2.1 Скорость света в неподвижной воде в \(n\) раз меньше скорости света в вакууме

\[v = \frac{c}{n} = \frac{3{,}00\cdot 10^8}{1{,}33} = 2{,}26\cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}}.\tag{11}\]

2.2 В рамках гипотезы неподвижного эфира движение воды не влияет на скорость света, поэтому

\[v = \frac{c}{n}.\tag{12}\]

2.3 Если справедлива гипотеза полного увлечения эфира, то

\[v = \frac{c}{n} + V.\tag{13}\]

2.4 В общем случае следует записать

\[v = \frac{c}{n} + \gamma V.\tag{14}\]

При неподвижном эфире \(\gamma = 0\), при полном увлечении \(\gamma = 1\).

2.5 В данном эксперименте сдвиг интерференционных полос обусловлен изменением скорости света при изменении скорости течения воды, в результате чего изменяется длина волны света. Рассчитаем изменение длины волны в общем случае частичного увлечения эфира. Так как частота и период колебаний остаются неизменными, можно записать: Для длины волны (\(\lambda_{(\pm)}\) - длины волн при движении «по и против» течения воды):

\[\frac{\lambda_0}{c} = \frac{\lambda_{(\pm)}}{\frac{c}{n} \pm \gamma V} \quad \Rightarrow \quad \lambda_{(\pm)} = \lambda_0 \frac{\frac{c}{n} \pm \gamma V}{c}\tag{15}\]

Для изменения разности хода в каждой трубе в единицах длин волн получим

\[\frac{L}{\lambda_{(\pm)}} = \frac{L}{\lambda_0 \frac{\frac{c}{n} \pm \gamma V}{c}} = \frac{L}{\lambda_0} \cdot \frac{c}{\frac{c}{n} \pm \gamma V} = \frac{L}{\lambda_0} \frac{n}{1 \pm n\gamma \frac{V}{c}}\tag{16}\]

Теперь учтем, что \(V \ll c\), поэтому можно это выражение упростить:

\[\frac{L}{\lambda_{(\pm)}} = \frac{L}{\lambda_0} \frac{n}{1 \pm n\gamma \frac{V}{c}} = \frac{Ln}{\lambda_0} \left(1 \mp n\gamma \frac{V}{c}\right)\tag{17}\]

Итак, при движении воды между волнами, распространяющимися в противоположных направлениях, возникает разность хода (и равный ей сдвиг полос)

\[\Delta m_1 = \frac{L}{\lambda_{(-)}} - \frac{L}{\lambda_{(+)}} = 2 \frac{Ln^2}{\lambda_0} \gamma \frac{V}{c}.\tag{18}\]

Так как свет проходит две трубы, то окончательное значение сдвига будет еще в два раза больше

\[\Delta m = 4 \frac{Ln^2}{\lambda_0} \gamma \frac{V}{c}.\tag{19}\]

Подставим численные значения и рассчитаем

\[\Delta m = 4 \frac{Ln^2}{\lambda_0} \gamma \frac{V}{c} = 4 \frac{1{,}49 \cdot 1{,}33^2}{526 \cdot 10^{-9}} \cdot \frac{7{,}06}{3{,}00 \cdot 10^8} \gamma = 0{,}472\gamma.\tag{20}\]

Таким образом, при полном увлечении эфира сдвиг полос должен составить 0,472 ширины интерференционной полосы. В результате измерений И. Физо получил значение сдвига

\[\Delta m_{\text{exp}} = \frac{1{,}2}{5} \approx 0{,}24,\tag{21}\]

что почти в 2 раза меньше теоретического сдвига.

2.6 Для объяснение наблюдаемого сдвига следует предположить, что коэффициент увлечения эфира водой равен

\[\gamma = \frac{0{,}24}{0{,}47} \approx 0{,}51\tag{22}\]

Часть 3. Но эфира то нет!

3.1 Используя формулу для сложения скоростей в СТО для скорости света в движущейся среде получим

\[v = \frac { \frac { c } { n } + V } { 1 + \frac { \frac { c } { n } \cdot V } { c ^ { 2 } } } = \frac { c } { n } \frac { 1 + n \frac { V } { c } } { 1 + \frac { 1 } { n } \frac { V } { c } } \approx \frac { c } { n } \left( 1 + n \frac { V } { c } - \frac { 1 } { n } \frac { V } { c } \right) = \frac { c } { n } + \left( 1 - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) V \, .\tag{23}\]

3.2 Из формулы (23) следует, что коэффициент увлечения связан с показателем преломления соотношением

\[\gamma = 1 - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \, .\tag{24}\]

Его численное значение для воды равно

\[\gamma = 1 - \frac { 1 } { 1 { , } 3 3 ^ { 2 } } = 0 { , } 4 3 5 \, .\tag{25}\]

Это значение близко к значению, найденному экспериментально.

3.3 При рассчитанном значении коэффициента увлечения сдвиг полос должен быть равен \(\Delta m = 0 { , } 4 7 2 \, \gamma \approx 0 { , } 2 0 5\) , что несколько меньше полученного экспериментально. Основной причиной такого расхождения является метод измерения скорости жидкости. Использованное значение скорости является средней скоростью по площади поперечного сечения труб. В действительности свет проходил вблизи оси трубы, где скорость течения больше, чем среднее по сечению значение. В результате чего реальный сдвиг оказался немного больше рассчитанного. Это повлияло и на значение коэффициента увлечения.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.