Закон, не совсем кулоновский

Пусть частица сместилась на малое расстояние \(r \ll R\) в направлении оси \(X\), начало которой находится в центре сферы (см. рис. 3.7). Найдём силу \(\Delta F\), действующую на эту частицу со стороны тонкого кольца, вырезанного из сферы параллельными плоскостями \(x = h\) и \(x = h + \Delta h\). Площадь поверхности этого кольца равна \[\Delta S = 2\pi R\sin\alpha\cdot\dfrac{\Delta h}{\sin\alpha} = 2\pi R\Delta h,\] его заряд \[\Delta Q = Q\cdot\dfrac{\Delta S}{4\pi R^2} = \dfrac{Q\Delta h}{2R}.\]

Из приведённого в условии задачи закона взаимодействия зарядов и принципа суперпозиции находим, что сила \(\Delta F\) направлена параллельно оси \(x\) и равна \[\Delta F = -\dfrac{kq\Delta Q(h - r)}{(R^2 - h^2 + (h - r)^2)^{\frac{3-\alpha}{2}}} = -\dfrac{kqQ\Delta h}{2R}(h - r)\left(R^2 - 2hr + r^2\right)^{\frac{\alpha-3}{2}}.\] При малых \(r\), используя приближённую формулу \((1 + x)^n \approx 1 + nx\) при \(n = (\alpha - 3)/2\) и пренебрегая слагаемыми \(\sim r^2\), получаем: \[\Delta F \approx -\dfrac{kqQ\Delta h}{2R^{4-\alpha}}(h - r)\left(1 - \dfrac{2hr}{R^2}\right)^{\frac{\alpha-3}{2}} \approx -\dfrac{kqQ\Delta h}{2R^{4-\alpha}}(h - r)\left(1 - \dfrac{(\alpha - 3)hr}{R^2}\right) \approx\] \[\approx -\dfrac{kqQ}{2R^{4-\alpha}}\left(h - r - \dfrac{(\alpha - 3)h^2r}{R^2}\right)\Delta h.\] Так как величина \(h\) изменяется в пределах от \(-R\) до \(R\), то \[\sum\Delta h = 2R,\qquad\sum h\Delta h = 0,\qquad\sum h^2\Delta h = \dfrac{2}{3}R^3.\] Поэтому полная сила, действующая на заряд, равна \[F = \sum\Delta F = -\dfrac{kqQ}{2R^{4-\alpha}}\left(-2rR - \dfrac{(\alpha - 3)r}{R^2}\cdot\dfrac{2}{3}R^3\right) = \dfrac{k\alpha qQ}{3R^{3-\alpha}}r.\] Таким образом, при \(r \ll R\) сила \(F \sim r\). При \(\alpha qQ < 0\) эта сила является возвращающей, то есть частица будет вести себя, как груз на пружине с жёсткостью \(\varkappa = \dfrac{k|\alpha qQ|}{3R^{3-\alpha}}\), и будет совершать вблизи центра сферы малые колебания с периодом \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{\varkappa}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{3mR^{3-\alpha}}{k|\alpha qQ|}}\).

При \(\alpha qQ > 0\) сила \(F\), возникающая при смещении частицы, будет стремиться ещё больше удалить её от центра сферы. Поэтому при таком условии состояние равновесия заряженной частицы в центре сферы будет неустойчивым. Наконец, при \(\alpha = 0\), что соответствует закону Кулона, сила \(F\) внутри равномерно заряженной по поверхности сферы обратится в ноль. При этом частица в любом месте внутри сферы будет находиться в состоянии равновесия.