Черенковское излучение и кольцевой черенковский детектор

Свет распространяется в вакууме со скоростью \(с\). Не существует частиц, движущихся со скоростью больше, чем \(с\). Однако в прозрачной среде частица может двигаться со скоростью \(v\), превышающей скорость света в этой среде \(c/n\), где \(n\) — показатель преломления среды. Эксперимент (Черенков, 1934) и теория (Тамм и Франк, 1937) показали, что заряженная частица, движущаяся со скоростью \(v\) в прозрачной среде с показателем преломления \(n\), удовлетворяющим условию \(v>c/n\), излучает свет, названный черенковским излучением, в направлениях, образующих с ее траекторией угол

\[\theta = arccos \frac {1}{\beta n},~где \beta = v/c\]

1. Чтобы объяснить этот эффект, рассмотрим частицу, движущуюся с постоянной скоростью \(v>c/n\) по прямой линии. Она проходит точку \(A\) в момент времени \(0\) и точку \(B\) в момент \(t_1\). Так как задача симметрична относительно вращения вокруг оси \(AB\), достаточно рассмотреть световые лучи в любой плоскости, содержащей \(AB\).

В любой точке \(C\) между \(A\) и \(B\) частица излучает сферическую световую волну, распространяющуюся со скоростью \(c/n\). Назовем волновым фронтом в заданный момент времени \(t\) огибающую всех таких сфер в этот момент.

1.1. Определите волновой фронт в момент времени \(t_1\) и начертите линию его сечения плоскостью, содержащей траекторию частицы.

1.2. Выразите угол \(\varphi\) между указанной линией и траекторией частицы через \(n\) и \(\beta\).

Рассмотрим пучок частиц, движущихся вдоль прямой линии \(IS\), пересекающей в точке \(S\) выпуклое сферическое зеркало с фокусным расстоянием \(f\) и центром \(C\). Скорость пучка \(v>c/n\) такова, что угол \(\theta\) мал. Отрезок \(SC\) образует с линией \(SI\) малый угол \(\alpha\) (смотри рисунок в Листе ответов). Излучение пучка частиц создает кольцевое изображение в фокальной плоскости зеркала. Поясните это явление с помощью рисунка. Определите положение центра кольца \(O\) и его радиус \(r\).

Установка, описанная выше, используется в кольцевых черенковских детекторах (КЧД), а среда, через которую частицы проходят, называется излучателем.

Примечание: поскольку углы \(\alpha\) и \(\theta\) малы, во всех пунктах данной задачи соответствующими членами второго и высших порядков малости можно пренебречь.

3. Рассмотрим пучок частиц с известным импульсом \(p = 10.0~ГэВ/с\), состоящий из частиц трех типов: протонов, каонов и пионов с маccами покоя \(M_p=0.94~ГэВ/с^2\), \(M_k=0.50~ГэВ/с^2\) и \(M_{\pi}=0.14~ГэВ/с^2\) соответственно. Напомним, что величины \(pc\) и \(Mc^2\) имеют размерность энергии, \(1~эВ\) — энергия, приобретаемая электроном, ускоренным разностью потенциалов \(1~В\), \(1~ГэВ = 10^9~эВ\), \(1~МэВ = 10^6~эВ\).

Пучок частиц движется в воздухе, находящемся под давлением \(Р\), который играет роль излучателя. Показатель преломления воздуха выражается через его давление \(Р\), измеренное в атмосферах, с помощью формулы \(n=1+aP\), где \(a=2.7\cdot 10^{–4}~атм^{–1}\).

3.1. Рассчитайте для каждого из трех типов частиц минимальное значение \(P_{min}\) атмосферного давления, при котором они начинают давать черенковское излучение.

3.2. Рассчитайте давление \(P_{1/2}\), при котором радиус кольцевого изображения, порожденного излучением каонов, равен половине радиуса кольцевого изображения, порожденного излучением пионов, а также значения \(\theta_k\) и \(\theta_{\pi}\) для этого случая. Можно ли при таком давлении наблюдать кольцевое изображение, порожденное излучением протонов?

4. Предположим теперь, что пучок не является полностью монохроматическим: импульс частиц распределен в интервале с центром в точке \(10~ГэВ/с\), имеющем полуширину \(\Delta p\) (на половине высоты). Это приводит к уширению кольцевого изображения. Соответствующее уширение распределения по \(\theta\) характеризуется полушириной \(\Delta \theta\) (на половине высоты).

4.1. Вычислить \(\Delta \theta_k/\Delta p\) и \(\Delta \theta_{\pi}/\Delta p\), то есть значение \(\Delta \theta/\Delta p\) для пионов и каонов.

4.2. Два кольцевых изображения, созданных излучением пионов и каонов, можно хорошо различить, если угловое расстояние \(\theta_{\pi}/\theta_k\) превышает сумму полуширин \(\Delta \theta = \Delta \theta_k + \Delta \theta_{\pi}\) более чем в 10 раз, то есть \(\theta_{\pi} - \theta_k>10~\Delta \theta\). Рассчитайте максимальное значение \(\Delta p\), при котором два изображения еще можно хорошо различить.

5. Черенков впервые открыл эффект, ныне носящий его имя, наблюдая за сосудом с водой, расположенным вблизи радиоактивного источника. Он увидел, что вода в сосуде светилась.

5.1. Найдите минимальное значение кинетической энергии \(T_{min}\) частицы с массой покоя \(M\), движущейся в воде, при котором появляется черенковское излучение. Показатель преломления воды \(n=1.33\).

5.2. Радиоактивный источник, использованный Черенковым, излучал \(\alpha\) - частицы (ядра гелия), имеющие массу покоя \(M_{\alpha}=3.8~ ГэВ/с^2\), и \(\beta\) - частицы (электроны), имеющие массу покоя \(M_e=0.51~МэВ/с^2\). Рассчитайте численные значения \(T_{min}\) для \(\alpha\)- и \(\beta\)- частиц.

Зная, что кинетическая энергия частиц, излучаемых радиоактивными источниками, не превышает нескольких \(МэВ\), определите, какие частицы порождали излучение, наблюдавшееся Черенковым.

6. В предыдущих пунктах задачи не учитывалась зависимость черенковского излучения от длины волны \(\lambda\). Учтем теперь тот факт, что черенковское излучение частицы имеет широкий непрерывный спектр, включающий видимую область (длины волн от \(0.4~мкм\) до \(0.8~мкм\)). Известно также, что при возрастании \(\lambda\) в пределах этой области показатель преломления излучателя линейно уменьшается на \(2~\%\) от величины \((n−1)\).

6.1. Рассмотрим пучок пионов с заданным импульсом \(10.0~ГэВ/с\), движущийся в воздухе, находящемся под давлением \(6~атм\). Определите разность углов \(\delta \theta\), соответствующих краям видимой области.

6.2. Качественно исследуйте влияние дисперсии (т.е. зависимости \(n\) от \(\lambda\)) на изображение кольца, созданное излучением пучка пионов. Импульсы пионов распределены в интервале с центром в точке \(p=10~ГэВ/с\), имеющем полуширину \(\Delta p = 0.3~ГэВ/с\) (на половине высоты).

Рассчитайте уширение, обусловленное дисперсией (изменением показателя преломления), а также уширение, вызываемое немонохроматичностью пучка (разбросом импульсов частиц).

Опишите, как изменяется цвет кольца при переходе от его внутреннего края к внешнему, отметив соответствующие клеточки в Листе ответов.