Изменение температуры воздуха с высотой, устойчивость атмосферы и загрязнение воздуха

Давление в атмосфере уравновешивает вес воздуха над слоем, а адиабатически поднимающаяся частица охлаждается на один и тот же градиент \(\Gamma\), потому что её давление всё время совпадает с давлением окружающего воздуха. Устойчивость определяется знаком разности \(T_{\text{ч}}-T\) после небольшого смещения; высота смешения — точка, где температура частицы сравнивается с температурой воздуха. Концентрацию CO ищите из баланса массы в «коробке»: приход — выбросы, уход — вынос ветром.

1.1) \(p=p(0)\,e^{-\mu gz/(RT_0)}\);  1.2.1) \(p=p(0)\left(1-\dfrac{\Lambda z}{T(0)}\right)^{\mu g/(R\Lambda)}\);  1.2.2) \(\Lambda>\dfrac{\mu g}{R}\approx3{,}4\cdot10^{-2}\) К/м;  2.1) \(G=\dfrac{\gamma-1}{\gamma}\,\dfrac{\mu g}{R}\,\dfrac{T_{\text{ч}}}{T}\);  2.2.1) \(\Gamma=\dfrac{\gamma-1}{\gamma}\dfrac{\mu g}{R}=\dfrac{\mu g}{c_p}\);  2.2.2) \(\Gamma\approx9{,}8\cdot10^{-3}\) К/м \(\approx1\) К на 100 м;  2.2.3) \(T(z)=T(0)-\Gamma z\);  2.3) \(T_{\text{ч}}(z)=T_{\text{ч}}(0)\left(1-\dfrac{\Lambda z}{T(0)}\right)^{\Gamma/\Lambda}\);  2.4) \(T_{\text{ч}}(z)\approx T_{\text{ч}}(0)-\Gamma z\);  3.1) устойчива при \(\Lambda<\Gamma\), неустойчива при \(\Lambda>\Gamma\), нейтральна при \(\Lambda=\Gamma\);  3.2) \(h=\dfrac{T(0)}{\Lambda}\left[1-\left(\dfrac{T(0)}{T_{\text{ч}}(0)}\right)^{\Lambda/(\Gamma-\Lambda)}\right]\approx\dfrac{T_{\text{ч}}(0)-T(0)}{\Gamma-\Lambda}\);  4.1) \(T_{\text{ч}}(96~\text{м})\approx294{,}2\) К \(\approx21{,}1~^\circ\text{C}\), \(T_{\text{ч}}(119~\text{м})\approx294{,}0\) К \(\approx20{,}8~^\circ\text{C}\);  4.2) \(H\approx1{,}4\cdot10^{2}\) м (144 м), \(T_{\text{ч}}(H)\approx20{,}6~^\circ\text{C}\);  5.1) \(\dfrac{dC}{dt}+\dfrac uW C=\dfrac{M}{LWH}\);  5.2) \(C(t)=\dfrac{M}{LHu}\left(1-e^{-ut/W}\right)\);  5.3) \(C\approx2{,}2~\text{мг/м}^3\).

Что происходит. Давление в атмосфере — это вес вышележащего столба воздуха, поэтому оно убывает с высотой, а скорость убывания зависит от температуры. Поднимающаяся частица воздуха расширяется практически адиабатически и охлаждается на постоянную величину \(\Gamma\approx1\) К на 100 м. Если окружающий воздух с высотой остывает медленнее, чем частица (\(\Lambda<\Gamma\)), то поднявшаяся частица оказывается холоднее и плотнее окружения и возвращается — атмосфера устойчива; если быстрее — частица уходит вверх. Утром над Ханоем температура воздуха от высоты 119 м растёт (инверсия), поэтому тёплая частица, всплыв, сравнивается по температуре с воздухом и останавливается на высоте смешения \(H\). Загрязнение, выброшенное мотоциклами, заполняет «коробку» высотой \(H\), а ветер выносит его; концентрацию находим из баланса массы CO в этой коробке.

Обозначения. Ось \(z\) направлена вверх от земли. \(p(z)\), \(T(z)\), \(\rho(z)\) — давление, температура и плотность окружающего воздуха; \(T_{\text{ч}}(z)\) — температура частицы воздуха; \(\gamma=c_p/c_V=\dfrac{7/2}{5/2}=1{,}4\). Воздух — идеальный газ, \(g\) постоянно.

Рис. 2. Силы на тонкий слой воздуха толщиной \(dz\) и площадью \(S\): давление снизу \(pS\), давление сверху \((p+dp)S\) и вес слоя \(dm\,\vec g\) (длины стрелок условны).

1.1. Возьмём в атмосфере тонкий горизонтальный слой воздуха толщиной \(dz\) и площадью \(S\) (рис. 2). Слой покоится, поэтому равнодействующая сил по вертикали равна нулю: снизу давление \(p\) толкает вверх с силой \(pS\), сверху давление \(p+dp\) давит вниз силой \((p+dp)S\), и вниз действует вес \(dm\,g=\rho S\,dz\,g\): \[pS-(p+dp)S-\rho gS\,dz=0\quad\Longrightarrow\quad dp=-\rho g\,dz.\] Плотность найдём из уравнения Менделеева — Клапейрона \(pV=\dfrac m\mu RT\): \[\rho=\frac mV=\frac{p\mu}{RT}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dp}{p}=-\frac{\mu g}{RT}\,dz.\] Это уравнение справедливо при любой зависимости \(T(z)\). При \(T=T_0\) интегрируем от \(0\) до \(z\): \[\ln\frac{p(z)}{p(0)}=-\frac{\mu gz}{RT_0}\quad\Longrightarrow\quad p(z)=p(0)\,e^{-\mu gz/(RT_0)}.\] Проверка: \(\mu gz/(RT_0)\) безразмерно (\(\text{кг/моль}\cdot\text{м}^2/\text{с}^2\) делится на \(\text{Дж/моль}\)); масштаб высоты \(RT_0/(\mu g)\approx8\) км при \(T_0\approx280\) К, то есть давление падает в \(e\) раз на высоте порядка высоты тропосферы — это согласуется с наблюдениями.

1.2.1. Подставим \(T=T(0)-\Lambda z\): \[\frac{dp}{p}=-\frac{\mu g}{R}\cdot\frac{dz}{T(0)-\Lambda z}.\] По подсказке (а) \(\displaystyle\int\frac{dz}{T(0)-\Lambda z}=-\frac1\Lambda\ln\bigl(T(0)-\Lambda z\bigr)\), поэтому \[\ln\frac{p(z)}{p(0)}=\frac{\mu g}{R\Lambda}\ln\frac{T(0)-\Lambda z}{T(0)}\quad\Longrightarrow\quad p(z)=p(0)\left(1-\frac{\Lambda z}{T(0)}\right)^{\mu g/(R\Lambda)}.\] Проверка: при \(\Lambda\to0\) по подсказке (в) с \(x=-T(0)/(\Lambda z)\) получаем \[\Bigl(1-\frac{\Lambda z}{T(0)}\Bigr)^{\mu g/(R\Lambda)}=\Bigl[\Bigl(1+\frac1x\Bigr)^{x}\Bigr]^{-\mu gz/(RT(0))}\to e^{-\mu gz/(RT(0))},\] то есть результат пункта 1.1.

Рис. 3. Давление в зависимости от безразмерной высоты \(\mu gz/(RT(0))\) при \(\Lambda=0\), \(\Lambda=0{,}5\,\mu g/R\) и \(\Lambda=\mu g/R\): чем быстрее остывает воздух с высотой, тем быстрее убывает давление; при \(\Lambda=\mu g/R\) зависимость линейна и плотность постоянна.

1.2.2. Свободная конвекция начинается, когда плотность растёт с высотой: тяжёлый воздух лежит над лёгким. Плотность \(\rho\propto p/T\), поэтому \[\frac{\rho(z)}{\rho(0)}=\frac{p(z)}{p(0)}\cdot\frac{T(0)}{T(z)}=\left(1-\frac{\Lambda z}{T(0)}\right)^{\frac{\mu g}{R\Lambda}-1}.\] Основание степени меньше единицы (при \(\Lambda>0\), \(z>0\)), поэтому отношение больше единицы, если показатель отрицателен: \[\frac{\mu g}{R\Lambda}-1<0\quad\Longrightarrow\quad \Lambda>\frac{\mu g}{R}=\frac{0{,}029\cdot9{,}81}{8{,}31}\approx3{,}4\cdot10^{-2}~\text{К/м}.\] Проверка вторым способом: логарифмическая производная плотности \[\frac{d\ln\rho}{dz}=\frac{d\ln p}{dz}-\frac{d\ln T}{dz}=-\frac{\mu g}{RT}+\frac\Lambda T=\frac{\Lambda-\mu g/R}{T}\] положительна при том же условии. Это 34 К на километр, в несколько раз больше \(\Gamma\): свободная конвекция — крайний случай неустойчивости (на рис. 3 это прямая \(\Lambda=\mu g/R\), где плотность постоянна).

2.1. Адиабатический процесс для постоянной массы газа в частице: \(pV^\gamma=\text{const}\), а \(V=\dfrac{\nu RT_{\text{ч}}}{p}\), поэтому \(p^{1-\gamma}T_{\text{ч}}^{\gamma}=\text{const}\), то есть \[T_{\text{ч}}\,p^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}=\text{const}.\] Дифференцируем логарифм: \(\dfrac{dT_{\text{ч}}}{T_{\text{ч}}}+\dfrac{1-\gamma}{\gamma}\dfrac{dp}{p}=0\), откуда \[\frac{dT_{\text{ч}}}{dz}=\frac{\gamma-1}{\gamma}\cdot\frac{T_{\text{ч}}}{p}\cdot\frac{dp}{dz}.\] Давление на границе частицы равно давлению окружающего воздуха на этой высоте, поэтому \(dp/dz\) берётся из условия гидростатики окружающего воздуха при его температуре \(T\): \(dp/dz=-\mu g\,p/(RT)\). Подставляем: \[\frac{dT_{\text{ч}}}{dz}=-\frac{\gamma-1}{\gamma}\cdot\frac{\mu g}{R}\cdot\frac{T_{\text{ч}}}{T}=-G,\qquad G=\frac{\gamma-1}{\gamma}\cdot\frac{\mu g}{R}\cdot\frac{T_{\text{ч}}}{T}.\] Обратите внимание: в \(G\) входит температура окружающего воздуха — именно она определяет, как быстро падает давление, а температура частицы \(T_{\text{ч}}\) — насколько сильно меняется её температура при данном падении давления.

2.2.1. При \(T=T_{\text{ч}}\) отношение \(T_{\text{ч}}/T\) равно единице, и \(G\) становится постоянной: \[\Gamma=\frac{\gamma-1}{\gamma}\cdot\frac{\mu g}{R}=\frac{\mu g}{c_p},\] так как \(\dfrac{\gamma-1}{\gamma}=\dfrac{R}{c_p}\) (для молярных теплоёмкостей \(c_p-c_V=R\)). Второй способ: при адиабатическом подъёме в гидростатической атмосфере энтальпия единицы массы убывает на \(g\,dz\): \(\dfrac{c_p}{\mu}\,dT=-g\,dz\), откуда тот же градиент.

2.2.2. Численно \[\Gamma=\frac{\mu g}{c_p}=\frac{2}{7}\cdot\frac{0{,}029\cdot9{,}81}{8{,}31}\approx9{,}8\cdot10^{-3}~\text{К/м},\] то есть около \(1\) К на каждые \(100\) м подъёма.

2.2.3. Если \(T=T_{\text{ч}}\) на всех высотах, то \(\dfrac{dT}{dz}=-\Gamma=\text{const}\), откуда \[T(z)=T(0)-\Gamma z.\] Такая атмосфера называется адиабатической.

2.3. Теперь \(T(z)=T(0)-\Lambda z\), а \(G=\Gamma\,T_{\text{ч}}/T\). Подставим в \(\dfrac{dT_{\text{ч}}}{dz}=-G\) и разделим переменные: \[\frac{dT_{\text{ч}}}{T_{\text{ч}}}=-\Gamma\,\frac{dz}{T(0)-\Lambda z}.\] Интегрируем (подсказка (а)) от \(0\) до \(z\): \[\ln\frac{T_{\text{ч}}(z)}{T_{\text{ч}}(0)}=\frac\Gamma\Lambda\ln\frac{T(0)-\Lambda z}{T(0)}\quad\Longrightarrow\quad T_{\text{ч}}(z)=T_{\text{ч}}(0)\left(1-\frac{\Lambda z}{T(0)}\right)^{\Gamma/\Lambda}.\] Проверка: при \(\Lambda=\Gamma\) и \(T_{\text{ч}}(0)=T(0)\) получаем \(T_{\text{ч}}(z)=T(0)-\Gamma z=T(z)\), как в пункте 2.2.3.

2.4. При \(\Lambda z\ll T(0)\) используем \((1+x)^n\approx1+nx\) с \(x=-\Lambda z/T(0)\), \(n=\Gamma/\Lambda\): \[T_{\text{ч}}(z)\approx T_{\text{ч}}(0)\left(1-\frac{\Gamma z}{T(0)}\right)\approx T_{\text{ч}}(0)-\Gamma z,\] где при \(T(0)\approx T_{\text{ч}}(0)\) мы заменили \(T_{\text{ч}}(0)/T(0)\approx1\). Частица остывает на \(\Gamma\) на каждый метр подъёма независимо от \(\Lambda\).

3.1. Пусть на высоте \(z_0\) частица в равновесии: \(T_{\text{ч}}(z_0)=T(z_0)\). Сместим её на \(d\) вверх. На частицу объёма \(V\) действуют вес \(\rho_{\text{ч}}Vg\) вниз и сила Архимеда \(\rho Vg\) вверх, где \(\rho\) — плотность окружающего воздуха. Давления внутри частицы и снаружи одинаковы, поэтому \(\rho\propto1/T\) и \(\rho/\rho_{\text{ч}}=T_{\text{ч}}/T\). Проекция равнодействующей на ось \(z\): \[F_z=(\rho-\rho_{\text{ч}})Vg=m_{\text{ч}}\,g\,\frac{T_{\text{ч}}-T}{T}.\] Вблизи \(z_0\) температура частицы почти равна температуре воздуха, и можно считать \(G\approx\Gamma\): \(T_{\text{ч}}(z_0+d)=T(z_0)-\Gamma d\), а \(T(z_0+d)=T(z_0)-\Lambda d\). Тогда \(T_{\text{ч}}-T=(\Lambda-\Gamma)d\) и \[m_{\text{ч}}\ddot d=F_z=-m_{\text{ч}}\,\frac{g(\Gamma-\Lambda)}{T}\,d.\] Если \(\Lambda<\Gamma\), сила направлена против смещения (при \(d<0\) частица оказывается теплее окружения и всплывает обратно): равновесие устойчиво и частица колеблется около \(z_0\). Если \(\Lambda>\Gamma\), сила направлена по смещению: смещение растёт, равновесие неустойчиво. При \(\Lambda=\Gamma\) сила равна нулю на любой высоте: равновесие безразлично, атмосфера нейтральна. Свободная конвекция из пункта 1.2.2 (\(\Lambda>\mu g/R\approx3{,}5\,\Gamma\)) — частный случай неустойчивой атмосферы.

Рис. 4. Частица, смещённая от \(z_0\) вверх или вниз; по горизонтали — температура \(T\), по вертикали — высота \(z\); в равновесии на уровне \(z_0\) прямые пересекаются. Слева \(\Lambda<\Gamma\): частица, оказавшись выше \(z_0\), холоднее воздуха, а ниже \(z_0\) — теплее, и сила \(\vec F\) возвращает её. Справа \(\Lambda>\Gamma\): выше \(z_0\) частица теплее воздуха, и сила уводит её дальше.

3.2. Частица поднимается, пока её температура не сравняется с температурой воздуха: на высоте \(h\) выполнено \(T_{\text{ч}}(h)=T(h)\). Подставим формулу из пункта 2.3 и \(T(h)=T(0)\,x\), где \(x=1-\Lambda h/T(0)\): \[T_{\text{ч}}(0)\,x^{\Gamma/\Lambda}=T(0)\,x\quad\Longrightarrow\quad x^{\frac{\Gamma-\Lambda}{\Lambda}}=\frac{T(0)}{T_{\text{ч}}(0)}\quad\Longrightarrow\quad x=\left(\frac{T(0)}{T_{\text{ч}}(0)}\right)^{\frac{\Lambda}{\Gamma-\Lambda}}.\] Тогда \(h=\dfrac{T(0)}{\Lambda}(1-x)\): \[h=\frac{T(0)}{\Lambda}\left[1-\left(\frac{T(0)}{T_{\text{ч}}(0)}\right)^{\frac{\Lambda}{\Gamma-\Lambda}}\right].\] В устойчивой атмосфере (\(\Lambda<\Gamma\)) показатель положителен, \(T(0)/T_{\text{ч}}(0)<1\), и \(h>0\). Если разность \(\Delta T=T_{\text{ч}}(0)-T(0)\) мала по сравнению с \(T(0)\), то \[x=\left(1-\frac{\Delta T}{T_{\text{ч}}(0)}\right)^{\frac{\Lambda}{\Gamma-\Lambda}}\approx1-\frac{\Lambda}{\Gamma-\Lambda}\cdot\frac{\Delta T}{T(0)},\] и получаем простую формулу \[h\approx\frac{\Delta T}{\Gamma-\Lambda}.\] Её можно получить сразу из линейных приближений \(T_{\text{ч}}\approx T_{\text{ч}}(0)-\Gamma z\) и \(T=T(0)-\Lambda z\): прямые пересекаются при \(\Delta T=(\Gamma-\Lambda)h\) (рис. 5). Проверка: при \(\Delta T\to0\) высота \(h\to0\) — частица, не отличающаяся от окружения, остаётся на месте; при \(\Lambda\to\Gamma\) высота растёт неограниченно — в нейтральной атмосфере частица, стартовавшая теплее воздуха, остаётся теплее него на любой высоте и поднимается без остановки.

Рис. 5. Частица, стартующая теплее окружения на \(\Delta T\) в устойчивой атмосфере: её температура убывает быстрее (\(\Gamma>\Lambda\)), и на высоте \(h\) линии пересекаются; выше частица холоднее воздуха и останавливается.

4.1. Найдём градиенты по таблице 1. Первый слой, \(0<z<96\) м: температура падает с \(21{,}5~^\circ\text{C}\) (первая точка, 5 м, принимается за температуру у земли \(T(0)=294{,}65\) К) до \(20{,}1~^\circ\text{C}\) на 96 м: \[\Lambda_1=\frac{21{,}5-20{,}1}{96-5}\approx1{,}54\cdot10^{-2}~\text{К/м}.\] Второй слой, \(96<z<119\) м: температура постоянна, \(20{,}1~^\circ\text{C}=293{,}25\) К, \(\Lambda_2=0\) (изотермический слой). Третий слой, \(119<z<215\) м: температура растёт от \(20{,}1\) до \(22{,}0~^\circ\text{C}\), \[\Lambda_3=-\frac{22{,}0-20{,}1}{215-119}\approx-1{,}98\cdot10^{-2}~\text{К/м}.\] Частица стартует с \(T_{\text{ч}}(0)=22~^\circ\text{C}=295{,}15\) К, то есть на \(\Delta T=0{,}5\) К теплее воздуха. В первом слое применим формулу пункта 2.3 с \(\Lambda_1\) (\(\Gamma/\Lambda_1\approx0{,}636\)): \[T_{\text{ч}}(96~\text{м})=295{,}15\left(1-\frac{1{,}54\cdot10^{-2}\cdot96}{294{,}65}\right)^{0{,}636}\approx294{,}2~\text{К}\approx21{,}1~^\circ\text{C}.\] Обратите внимание: во втором слое \(\Lambda_2=0\), поэтому формулу 2.3 надо брать в пределе \(\Lambda\to0\): \(T_{\text{ч}}(z)=T_{\text{ч}}(96)\,e^{-\Gamma(z-96)/T}\), где \(T=293{,}25\) К — температура слоя. Для \(z=119\) м (\(\Delta z=23\) м): \[T_{\text{ч}}(119~\text{м})=294{,}2\cdot\exp\!\Bigl(-\frac{9{,}8\cdot10^{-3}\cdot23}{293{,}25}\Bigr)\approx294{,}0~\text{К}\approx20{,}8~^\circ\text{C}.\] Проверка: приближённая формула (2.4), \(T_{\text{ч}}\approx22-\Gamma z\), даёт \(21{,}06~^\circ\text{C}\) и \(20{,}84~^\circ\text{C}\) — то же. У организаторов \(294{,}04\) К и «\(21{,}0~^\circ\text{C}\)» на 96 м: они переводят \(22~^\circ\text{C}\) в \(295\) К вместо \(295{,}15\) К; в градусах Цельсия это те же \(21{,}05~^\circ\text{C}\), округлённые в другую сторону.

4.2. Для третьего слоя найдём высоту \(h'\) над \(119\) м, где частица сравнивается с воздухом. На 119 м частица на \(\Delta T=20{,}83-20{,}10=0{,}73\) К теплее воздуха, и \(\Lambda_3=-1{,}98\cdot10^{-2}<\Gamma\), то есть слой устойчив. Воздух теплеет на \(0{,}0198\) К/м, частица остывает на \(\Gamma=0{,}0098\) К/м, так что разность температур убывает со скоростью \(\Gamma-\Lambda_3=0{,}0296\) К/м: \[h'\approx\frac{0{,}73}{0{,}0296}~\text{м}\approx25~\text{м}\quad(\text{точная формула 3.2 даёт }24{,}8~\text{м}).\] Высота смешения и температура частицы там: \[H\approx119+25\approx144~\text{м}\approx1{,}4\cdot10^{2}~\text{м},\qquad T_{\text{ч}}(H)\approx20{,}83-0{,}0098\cdot25\approx20{,}6~^\circ\text{C}.\]

Рис. 6. Данные радиозонда (точки), ломаная из трёх слоёв, принятая за температуру воздуха, и путь частицы (бирюза): A — старт у земли (\(22~^\circ\)C), B — 96 м (\(21{,}1~^\circ\)C), C — 119 м (\(20{,}8~^\circ\)C), D — высота смешения \(H\approx144\) м (\(20{,}6~^\circ\)C), где частица сравнивается с воздухом.

Проверка по самим точкам таблицы: прямая \(22-\Gamma z\) пересекает измеренные температуры около \(z\approx154\) м, то есть примерно на 10 м выше; различие связано с ломаной аппроксимацией, порядок величины верный. Организаторы получают \(H=142\) м, потому что округляют \(0{,}73\) К до \(0{,}7\) К и \(\Gamma-\Lambda_3\) до \(0{,}03\) К/м (\(0{,}7/0{,}03\approx23\) м); без этих округлений данные условия дают \(H\approx144\) м.

5.1. Скорость выброса за час: \[M=\frac{8\cdot10^{5}\cdot5~\text{км}\cdot12~\text{г/км}}{3600~\text{с}}\approx1{,}33\cdot10^{4}~\text{г/с}.\] Рассмотрим «коробку» высотой \(H\) с основанием \(L\times W\), где \(W\) — сторона вдоль ветра (рис. 7). Запишем баланс массы CO в коробке за малое время \(dt\). Масса CO в коробке \(m=C\,LWH\). Прибавляется масса \(M\,dt\) от мотоциклов. Ветер входит чистым, а уходит через грань площадью \(L\times H\), перпендикулярную ветру, объём воздуха \(LHu\,dt\) с концентрацией \(C\), то есть уносит массу \(LHuC\,dt\). Через боковые грани, параллельные ветру, потерь нет. Значит \[LWH\,dC=M\,dt-LHuC\,dt\quad\Longrightarrow\quad\frac{dC}{dt}+\frac uW\,C=\frac{M}{LWH}.\]

Рис. 7. Слой смешения над городом как «коробка» \(L\times W\times H\): слева — вид сверху (ветер \(u\) входит и выходит через стороны \(L\)), справа — вид сбоку (высота \(H\) показана не в масштабе); выбросы \(M\) поступают от земли.

5.2. Уравнение имеет вид из подсказки (б) с \(A=u/W\) и \(B=M/(LWH)\). Частное решение — постоянная \(B/A=M/(LHu)\), общее решение однородного уравнения — \(K\,e^{-ut/W}\): \[C(t)=K\,e^{-ut/W}+\frac{M}{LHu}.\] Начальное условие \(C(0)=0\) даёт \(K=-M/(LHu)\): \[C(t)=\frac{M}{LHu}\left(1-e^{-ut/W}\right).\] Проверка: при \(ut/W\ll1\) раскладываем экспоненту, \[C\approx\frac{M}{LHu}\cdot\frac{ut}{W}=\frac{Mt}{LWH}\] — весь выброс остаётся в коробке, как без ветра; при \(t\to\infty\) концентрация выходит на \(M/(LHu)\), когда вынос ветром уравнивает выбросы. Размерность: \(M/(LHu)\) — это (г/с)/(м\(\cdot\)м\(\cdot\)м/с) \(=\) г/м\(^3\).

5.3. Время \(t=3600\) с, характерное время вымывания \(W/u=8000\) с, \(e^{-3600/8000}=e^{-0{,}45}\approx0{,}638\). Предельная концентрация при \(H=144\) м: \[\frac{M}{LHu}=\frac{1{,}33\cdot10^{4}}{1{,}5\cdot10^{4}\cdot144\cdot1}\approx6{,}2\cdot10^{-3}~\text{г/м}^3=6{,}2~\text{мг/м}^3.\] Поэтому \[C(8{:}00)\approx6{,}2\cdot(1-0{,}638)\approx2{,}2~\text{мг/м}^3.\] (С \(H=142\) м организаторов получается \(2{,}27\approx2{,}3\) мг/м\(^3\); разница — только от округления \(H\).) Проверка: без ветра за час накопилось бы \(Mt/(LWH)\approx2{,}8\) мг/м\(^3\); ветер уменьшает концентрацию, и \(2{,}2<2{,}8\). Концентрация обратно пропорциональна \(H\): чем ниже высота смешения, тем сильнее загрязнение.

Рис. 8. Нарастание концентрации CO: сплошная линия — \(C(t)\), пунктирная прямая — рост без ветра, горизонталь — предельное значение \(M/(LHu)\); в 8:00 (\(t=60\) мин) \(C\approx2{,}2\) мг/м\(^3\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.