Луна

Лунный диск можно считать равномерно ярким, как и солнечный; сравните освещённости от Солнца и от Луны через отношение видимых телесных углов и яркостей этих дисков.

\(k\approx4\%\).

Пусть освещённость (световая энергия на единицу площади и времени = плотность светового потока; если освещаемая поверхность перпендикулярна направлению падения света, это то же, что плотность светового потока) днём \(I_1\), а ночью \(I_2\). Так как выдержка и освещённость обратно пропорциональны, то \[t_1/t_2=I_2/I_1.\] Ночью Землю освещает свет, отражённый от Луны. Так как предполагалось, что Луна и Земля находятся от Солнца на одинаковом расстоянии, то освещённость на Луне тоже \(I_1\). Если бы поверхность Луны была перпендикулярна оси, соединяющей Землю и Луну (и заодно Солнце), то плотность светового потока, направленного обратно (к Земле), была бы \(I_k=kI_1\), где \(k\) "— средний коэффициент отражения (альбедо) поверхности Луны. Видимый центр Луны таковым и является, но края "— нет. И всё же зрительный опыт говорит, что диск Луны кажется повсюду более-менее одинаково ярким.

Такие источники света, видимая яркость поверхности которых не зависит от угла наблюдения, называются косинусными излучателями. Заметим, что эта яркость не зависит и от расстояния наблюдения, потому что доходящий до наблюдателя световой поток убывает обратно пропорционально расстоянию до источника света, но так же уменьшается и видимая площадь источника света (корректнее: телесный угол). Большая часть источников света и являются более-менее косинусными излучателями (например, абсолютно чёрные тела, излучающие тепло), в том числе и поверхность Солнца. Действительно, Солнце выглядит как диск равномерной яркости. В случае Луны теоретически дело несколько сложнее, потому что на краях на единицу поверхности Луны падает меньший световой поток (поверхность наклонена к солнечным лучам): если бы поверхность Луны рассеивала упавший на неё свет во всех направлениях более-менее поровну и была косинусным излучателем (видимая яркость каждого воспринимаемого участка поверхности не зависела бы от направления наблюдения), то края должны были бы быть менее яркими. Однако практический опыт доказывает обратное. По-видимому, дело в том, что из-за неровностей поверхности Луны она рассеивает больше света в направлении падения солнечного света, чем в других направлениях.

Как бы там ни было с точным механизмом, исходим из практического опыта, что полная луна кажется равномерно яркой. Итак, заменим мысленно Луну как шар Луной как «блином», то есть диском, радиус которого равен радиусу Луны. Далее используем то обстоятельство, что и Солнце кажется диском равномерной яркости. Отношение освещённостей, создаваемых солнечным и лунным светом, \(I_1/I_2\), равно, следовательно, произведению отношения видимых яркостей Солнца и Луны (то есть отношения плотностей световых потоков, излучаемых единицей поверхности, \(I_p/I_k\)) и отношения видимых телесных углов \(\Omega_p/\Omega_k\). Далее замечаем, что \(I_p/I_1=(R_p/r_p)^2\) (потому что плотность потока солнечного света обратно пропорциональна квадрату расстояния); итак, \[I_k/I_p=k(r_p/R_p)^2.\] Далее легко найти, что \[\Omega_k/\Omega_p=(r/R)^2/(r_p/R_p)^2,\] откуда \[I_2/I_1=(\Omega_k/\Omega_p)\cdot(I_k/I_p)=k(r/R)^2.\] Отсюда можно выразить \[k=(I_2/I_1)\cdot(R/r)^2=(t_1/t_2)\cdot(R/r)^2\approx4\%.\] Заметим, что средним альбедо Луны считается 7%. Различия между нашим результатом и точным числом могут быть вызваны нашей моделью (видимая яркость Луны постоянна по всей поверхности, ночью высота Луны над горизонтом такая же, как днём у Солнца). Если речь шла о съёмке на плёнку, то следует учесть и так называемый эффект Шварцшильда: при длинных выдержках (начиная с нескольких секунд) экспозиция плёнки уже не пропорциональна выдержке, а для получения такого же результата выдержку приходится несколько (иногда даже в несколько раз) увеличить.

Наконец, поскольку требовалась оценка, то полные баллы ставятся за любую более-менее физически разумную модель и за ответ в ориентировочном интервале \(2\%\)–\(8\%\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.