Шары

Скорости шаров и точки соединения стержней связаны нерастяжимостью стержней; в системе отсчёта, движущейся с шарниром, шары движутся по окружностям, а силы натяжения во всех стержнях равны, поскольку масса шарнира равна нулю.

\(v_2=v_3=\dfrac{\sqrt3}{4}v_0\) (вдоль своих стержней); ускорения всех шаров \(a=\dfrac{11}{24}\dfrac{v_0^2}{l}\).

На систему из второго и третьего шаров в то время, когда толкали первый шар, действовала сила вдоль первого стержня, то есть шарнирное соединение сместилось вдоль первого стержня, а второй и третий шары в силу симметрии приобрели одинаковые скорости. Скорость шарнирного соединения \(v_s=v_0\cos30^\circ\), потому что длина первого стержня не меняется. Так как и на второй, и на третий шар действует только сила вдоль стержня, то их скорость тоже направлена вдоль стержня; из-за нерастяжимости стержня \(v_2=v_3=v_s\cos60^\circ=v_0\sqrt3/4\).

Силы натяжения в стержнях равны, потому что массу шарнирного соединения можно считать равной нулю (действующая на него равнодействующая сила должна быть равна 0); обозначим её через \(T\). Следовательно, ускорения всех шариков равны, \(a_k=T/m\). Перейдём в систему отсчёта, связанную с шарнирным соединением и движущуюся поступательно с ускорением \(\vec a\). В этой системе скорость первого шара \(u_1=v_0/2\), а скорость остальных \(u=v_s\sin60^\circ=\frac34v_0\). В этой системе шарики движутся по окружностям. Для каждого шарика можно выписать условие равновесия сил в проекции на направление соответствующего стержня (тогда исчезает необходимость знать тангенциальное ускорение шарика при движении по окружности, так как оно перпендикулярно оси). Сравнивая условия равновесия для второго и третьего шариков, выясняется, что проекция силы инерции \(-m\vec a\) на каждую из осей должна быть одна и та же, то есть \(\vec a\) должно быть направлено вдоль первого стержня. Таким образом, получаем два уравнения: \[\begin{align*} mu_1^2/l+a&=T,\\ mu^2/l-a/2&=T. \end{align*}\] Исключая из этих уравнений \(a\), получаем \(T=\dfrac13\dfrac ml(u_1^2+2u^2)\) и искомое ускорение \(a_k=T/m=\dfrac{u_1^2+2u^2}{3l}=\dfrac{11}{24}\dfrac{v_0^2}{l}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.