Отскок вращающейся шайбы

Применим к шайбе закон изменения энергии, а также закон изменения импульса в проекциях на ось \(x\), направленную вдоль стенки, и ось \(y\), перпендикулярную к ней: \[\dfrac{mv_x^2}{2} + \dfrac{mv_y^2}{2} - \dfrac{mv_{0x}^2}{2} - \dfrac{mv_{0y}^2}{2} = -\mu N\Delta S, \qquad (102)\] \[mv_x - mv_{0x} = -\mu N\Delta t, \qquad (103)\] \[mv_y - mv_{0y} = N\Delta t. \qquad (104)\] Здесь \(v_x = v\sin\psi\), \(v_y = v\cos\psi\), \(v_{0x} = v_0\sin\varphi\), \(v_{0y} = v_0\cos\varphi\), \(N\) — сила нормальной реакции стенки, \(\Delta S\) — смещение шайбы вдоль стенки за время удара \(\Delta t\). Предполагая, что шайба в течение всего времени \(\Delta t\) скользит по стенке, величину \(\Delta S\) можно приблизительно выразить так: \[\Delta S = \dfrac{1}{2}(v_x + v_{0x})\Delta t.\] Подставляя это значение, можно из уравнений (102) и (103) получить соотношение \(v_y^2 = v_{0y}^2\). Следовательно, при ударе сохраняется модуль нормальной к стенке составляющей скорости (\(v_y = v_{0y}\)). Тогда из уравнений (103) и (104) получим \[\dfrac{v_x - v_{0x}}{2v_y} = -\mu,\quad\text{или}\quad \dfrac{v_x}{v_y} = \dfrac{v_{0x}}{v_y} - 2\mu,\] или \[\operatorname{tg}\psi = \operatorname{tg}\varphi - 2\mu. \qquad (105)\] Найдём скорость шайбы после удара о стенку: \[v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = v_0\cos\varphi\sqrt{1 + (\operatorname{tg}\varphi - 2\mu)^2}.\] Из формулы (105) следует, что быстро вращающаяся шайба отскочит от стенки в перпендикулярном к ней направлении (\(\psi = 0\)), если \(\mu = (\operatorname{tg}\varphi)/2\), и в обратном направлении (\(\psi = -\varphi\)), если \(\mu = \operatorname{tg}\varphi\).

В течение времени столкновения шайба скользит по стене, в результате чего под действием силы трения скольжения скорость вращения шайбы уменьшается. Для нахождения изменения угловой скорости следует применить закон изменения момента импульса: \[I\dfrac{d\omega}{dt} = -\mu NR.\] Интегрируем это уравнение: \[I(\omega - \omega_0) = -\mu NR\Delta t.\] Учтём уравнение (104): \[I(\omega - \omega_0) = -2\mu mRv_0\cos\varphi.\] Отсюда, подставляя \(I = mR^2/2\), найдём \[\omega = \omega_0 - \dfrac{4\mu v_0\cos\varphi}{R}.\] Ответ справедлив при заданном в условии ограничении \(\omega_0 > 4\mu v_0\cos\varphi/R\), накладываемом на \(\omega_0\). Если \[\mu \geqslant \dfrac{\omega_0R}{4v_0\cos\varphi},\] то шайба в процессе столкновения перестанет вращаться.