Задачи › Циклы, работа в цикле

Термодинамический цикл

  1. Термодинамический цикл

    «Туймаада» 2003/04, 11 кл.
    7/10

    С одним молем идеального одноатомного газа провели замкнутый цикл, изображённый на рис. 24, где 1–2 — изотерма, 2–3 — изобара, 3–4 — политропа, для которой \(C = R/2\), и 4–1 — изохора. Минимальная температура, достигаемая газом в цикле, \(T_{\min} = 300\) К. Политропическим процессом называется процесс, происходящий с постоянной теплоёмкостью \(C\).

    Рисунок

    1. Укажите точки на цикле, в которых газ достигает максимальной \(T_{\max}\) и минимальной \(T_{\min}\) температуры, и определите \(T_{\max}\).

    2. Определите количество теплоты \(Q_+\), подведённое к газу за цикл.

    3. Определите работу \(A\) газа за цикл.

    4. Определите КПД цикла \(\eta\) и сравните с КПД идеальной тепловой машины, работающей между нагревателем и холодильником с температурами соответственно \(T_{\max}\) и \(T_{\min}\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    1) \(T_{\min}\) — на изотерме 1–2, \(T_{\max}\) — в точке 3, \(T_{\max} = 3T_{\min} = 900\) К;  2) \(Q_+ = \dfrac{5}{2}R(T_{\max} - T_{\min}) = 12{,}5\) кДж;  3) \(A = R(T_{\max} - T_{\min}) + \dfrac{RT_{\max}}{4} - RT_{\min}\ln4 \approx 3{,}40\) кДж;  4) \(\eta = A/Q_+ \approx 27\%\), что меньше КПД машины Карно \(\eta_0 = \dfrac{T_{\max} - T_{\min}}{T_{\max}} \approx 67\%\).

    Решение

    Очевидно, что температура газа минимальна на изотерме 1–2 (рис. 131). В процессе 2–3 газ нагревается, поскольку совершает положительную работу, а в процессе 3–4 охлаждается, из-за того что \[C - C_V = p\,dV/dT < 0.\] Самая высокая температура оказывается в точке 3. Для нахождения этой температуры воспользуемся уравнением Менделеева–Клапейрона: \[T_{\max} = T_{\min}\dfrac{V_3}{V_2} = 3T_{\min} = 900\text{ К}.\]

    Рисунок

    Тепло подводится к газу только на участке 2–3, поэтому \[Q_+ = C_p(T_3 - T_2) = C_p(T_{\max} - T_{\min}).\] Для одноатомного газа \[C_p = \dfrac{5}{2}R,\] откуда \[Q_+ = \dfrac{5}{2}R(T_{\max} - T_{\min}).\] Подставляя численные данные, находим \(Q_+ = 12{,}5\) кДж.

    Для работы имеем \[A = A_{23} + A_{34} - A_{21}.\] Поскольку участок 2–3 — изобара, имеем \[A_{23} = p_2(V_3 - V_2) = R(T_3 - T_2) = R(T_{\max} - T_{\min}).\] Работу в политропическом процессе находим согласно второму началу термодинамики: \[C(T_4 - T_3) = C_V(T_4 - T_3) + A_{34},\quad\text{или}\quad (C_V - C)(T_{\max} - T_4) = A_{34}.\] Для точного определения \(T_4\) найдём уравнение политропы. Из второго начала термодинамики \(p\,dV = (C - C_V)\,dT\). Из уравнения Менделеева–Клапейрона имеем \(p\,dV + V\,dp = R\,dT\). Из последних двух уравнений получаем \[p\,dV = \dfrac{C - C_V}{R}(p\,dV + V\,dp) \Rightarrow \int\dfrac{dV}{V} = \dfrac{C - C_V}{C_p - C}\int\dfrac{dp}{p} \Rightarrow pV^{\frac{C - C_p}{C - C_V}} = \text{const}.\] По условию \(C = R/2\), значит, на политропе \(pV^2 = RTV = \text{const}\). Из графика цикла видно, что \[\dfrac{V_3}{V_4} = \dfrac{3}{4},\] поэтому \[T_4 = \dfrac{3}{4}T_3 = \dfrac{3}{4}T_{\max}\quad\text{и}\quad A_{34} = (C_V - C)\dfrac{1}{4}T_{\max} = \dfrac{RT_{\max}}{4}.\] Осталось определить работу на изотерме: \[dA_{21} = p\,dV = RT_{\min}\dfrac{dV}{V},\] откуда \[A_{21} = RT_{\min}\int\limits_{V_2}^{V_1}\dfrac{dV}{V} = RT_{\min}\ln\dfrac{V_1}{V_2}.\] Поскольку \(\dfrac{V_1}{V_2} = 4\), получаем \(A_{21} = RT_{\min}\ln4\). Окончательно находим \[A = R(T_{\max} - T_{\min}) + \dfrac{RT_{\max}}{4} - RT_{\min}\ln4.\] Подставляя численные значения, находим \(A \approx 3{,}40\) кДж.

    КПД цикла рассчитывается по формуле \(\eta = A/Q_+\). Она даёт \(\eta \approx 27\%\). Для идеальной тепловой машины Карно имеем \[\eta_0 = \dfrac{T_{\max} - T_{\min}}{T_{\max}} \approx 67\%,\] что, естественно, больше, чем для цикла, изображённого на рис. 131, как и для любого другого между теми же тепловыми резервуарами.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх