КПД цикла 1–2–3–4–2–5–1

Обозначим давления, объёмы и температуры, которые газ имеет в состояниях 1, 2 и 3, так, как показано на рисунке 2.60. Тогда для каждого из этих состояний можно записать уравнение Менделеева — Клапейрона:

\[\begin{aligned} p_1V_1 &= \nu RT_1,\\ p_2V_2 &= \nu RT_2,\\ p_3V_3 &= \nu RT_3, \end{aligned} \tag{1}\] где \(\nu\) — количество молей газа. Кроме того, из условия задачи следует, что справедливы соотношения: \[\dfrac{p_1}{V_1} = \dfrac{p_2}{V_2} = \dfrac{p_3}{V_3},\qquad (2)\] \[V_2 = \dfrac{V_1 + V_3}{2},\qquad (3)\] \[p_2 = \dfrac{p_1 + p_3}{2}.\qquad (4)\] Сначала получим несколько вспомогательных формул. Из (1) и (2) следует: \[\dfrac{p_1}{V_1} = \dfrac{\nu RT_1}{V_1^2} = \dfrac{p_2}{V_2} = \dfrac{\nu RT_2}{V_2^2} = \dfrac{p_3}{V_3} = \dfrac{\nu RT_3}{V_3^2}.\] Отсюда: \[\dfrac{V_2}{V_1} = \sqrt{\dfrac{T_2}{T_1}},\quad \dfrac{V_3}{V_1} = \sqrt{\dfrac{T_3}{T_1}}.\qquad (5)\] Деля правую и левую части (3) на \(V_1\), с учётом двух последних уравнений имеем: \[\dfrac{V_2}{V_1} = \sqrt{\dfrac{T_2}{T_1}} = \dfrac{1 + (V_3/V_1)}{2} = \dfrac{1}{2}\left(1 + \sqrt{\dfrac{T_3}{T_1}}\right),\] откуда \[T_2 = \dfrac{1}{4}\left(\sqrt{T_1} + \sqrt{T_3}\right)^2.\qquad (6)\] Теперь приступим к нахождению КПД. В данном цикле газ получает теплоту от нагревателя на участке 1–2–3. В соответствии с первым началом термодинамики: \[\Delta Q_{\text{н}} = \Delta U_{13} + \Delta A_{123} = \dfrac{3}{2}\nu R(T_3 - T_1) + \dfrac{1}{2}(p_1 + p_3)(V_3 - V_1).\] С учётом (1) и (2) это выражение можно преобразовать следующим образом: \[\Delta Q_{\text{н}} = \dfrac{3}{2}\nu R(T_3 - T_1) + \dfrac{1}{2}(p_1V_3 - \nu RT_1 + \nu RT_3 - p_3V_1) = 2\nu R(T_3 - T_1).\qquad (7)\] Далее найдём количество теплоты, которое газ отдаёт холодильнику на участке 3–4–2–5–1. Это количество теплоты равно (по абсолютной величине) \[\Delta Q_{\text{х}} = \Delta U_{13} + \Delta A_{15243} = \dfrac{3}{2}\nu R(T_3 - T_1) + p_1(V_2 - V_1) + p_2(V_3 - V_2).\] С учётом (1) и (5) выражение для \(\Delta Q_{\text{х}}\) можно преобразовать следующим образом: \[\begin{aligned} \Delta Q_{\text{х}} &= \dfrac{3}{2}\nu R(T_3 - T_1) + p_1V_2 - \nu RT_1 + p_2V_3 - \nu RT_2 =\\ &= \dfrac{3}{2}\nu R(T_3 - T_1) + \nu RT_1\dfrac{V_2}{V_1} - \nu RT_1 + \nu RT_2\dfrac{V_3}{V_2} - \nu RT_2 =\\ &= \dfrac{\nu R}{2}\left(3T_3 - 5T_1 - 2T_2 + 2\sqrt{T_1T_2} + 2\sqrt{T_2T_3}\right). \end{aligned}\] Наконец, последнее выражение, с учётом (6), приводится к виду: \[\Delta Q_{\text{х}} = \dfrac{\nu R}{4}\left(7T_3 - 9T_1 + 2\sqrt{T_1T_3}\right).\qquad (8)\] КПД данного цикла можно найти, используя (7) и (8): \[\eta = 1 - \dfrac{\Delta Q_{\text{х}}}{\Delta Q_{\text{н}}} = 1 - \dfrac{\nu R\left(7T_3 - 9T_1 + 2\sqrt{T_1T_3}\right)}{4\cdot 2\nu R(T_3 - T_1)} = \dfrac{T_1 - 2\sqrt{T_1T_3} + T_3}{8(T_3 - T_1)}.\] Заметим, что \(T_3\) и \(T_1\) — это максимальная и минимальная температуры газа в данном цикле. Поскольку по условию задачи \(T_3/T_1 = n\), то \[\eta = \dfrac{1 - 2\sqrt{T_3/T_1} + T_3/T_1}{8\bigl((T_3/T_1) - 1\bigr)} = \dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1 - 2\sqrt{n} + n}{n - 1} = \dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{(\sqrt{n} - 1)^2}{n - 1} = \dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{\sqrt{n} - 1}{\sqrt{n} + 1}.\] При \(n = 4\) получаем \(\eta = 1/24 \approx 4{,}17\%\).

Заметим, что при вычислении КПД можно вместо количества теплоты \(\Delta Q_{\text{х}}\) искать работу \(A\), совершаемую газом в данном цикле. Она численно равна площади фигуры 1–2–3–4–2–5–1: \[A = \dfrac{\nu R}{4}\left(T_1 - 2\sqrt{T_1T_3} + T_3\right).\] Однако, этот способ решения задачи несколько более трудоёмок.