Свеча и ёлочный шар

Свечу \(S\), как и её отражение \(S'\), при наблюдении с большого расстояния можно считать точечным источником, равномерно излучающим свет во все стороны. Лучи от свечки, находящейся на расстоянии \(r\) от человека, расходятся под углом \(\Delta\alpha \approx d/r\), где \(d\) — диаметр зрачка глаза. Очевидно, что лучи, испущенные свечкой в пределах такого угла, после отражения от шарика будут расходиться уже под бо́льшим углом \(\Delta\varphi\), и все попадут в глаз (то есть в пределы зрачка) на гораздо меньшем расстоянии \(r_1\) от свечки: \(d = r\Delta\alpha = r_1\Delta\varphi\).

Изобразим ход испущенных свечкой лучей при отражении от зеркального шара (см. рис. 4.34). Обозначим радиус шарика через \(R = D/2\). Для того, чтобы путник увидел отражение свечи в шаре, угол падения лучей на его зеркальную поверхность должен быть близок к \(45^\circ\). Поэтому расстояние между точками падения двух лучей, расходящихся из свечки под углом \(\Delta\alpha\), на поверхности шарика будет равно \(\dfrac{a\Delta\alpha}{\cos 45^\circ} = R\Delta\psi\), где \(\Delta\psi\) — угол поворота отражающей поверхности между этими точками. Поэтому \(\Delta\psi = \dfrac{\sqrt{2}a}{R}\Delta\alpha\). Известно, что при повороте луча, падающего на плоское зеркало, на угол \(\Delta\alpha\), отражённый луч поворачивается также на \(\Delta\alpha\), а при повороте самого зеркала на угол \(\Delta\psi\) — луч поворачивается на угол \(2\Delta\psi\). Поэтому \[\Delta\varphi = 2\Delta\psi + \Delta\alpha = \left(\dfrac{2\sqrt{2}a}{R} + 1\right)\Delta\alpha,\] и \[r_1 = \dfrac{\Delta\alpha}{\Delta\varphi}r = \dfrac{r}{\dfrac{2\sqrt{2}a}{R} + 1} = \dfrac{r}{\dfrac{4\sqrt{2}a}{D} + 1} \approx 48{,}6\text{ м}.\] Поскольку \(4\sqrt{2}a/D \approx 100 \gg 1\), ответ можно записать и так: \[r_1 \approx \dfrac{rD}{4\sqrt{2}a} \approx 50\text{ м}.\] Полученную нами оценку можно немного уточнить. Следует отметить, что излученный свечкой свет отражается от искривлённой поверхности, наклонённой под большим углом (\(\sim 45^\circ\)) к падающему пучку. Поэтому лучи света, идущие от свечки в пределах прямого кругового конуса с очень малым углом раствора \(\Delta\alpha\), после отражения от шара будут идти внутри конической поверхности практически эллиптического сечения, причём вертикальная полуось эллипса в \(\sqrt{2}\) раз меньше горизонтальной. Из-за этого в момент, когда человек будет находиться на определённом нами расстоянии \(r_1\) от шара, в его зрачок будет попадать в \(\sqrt{2}\) раз больше лучистой энергии, чем было испущено свечкой в пределах угла \(\Delta\alpha\). Следовательно, на самом деле человек увидит отражение свечки с несколько большего расстояния, чем \(r_1\), а именно, с расстояния \(\sqrt[4]{2}r_1 \approx 1{,}19r_1 \approx 58\) м.