Зеркальная сфера

Луч, попадающий в точку \(A\) на внутренней поверхности сферы, отражается и попадает затем в точку \(B\) на сфере (или её продолжении) — см. рисунок 4.31. Обозначим \(\angle AOO' = \beta\). Из геометрических построений, сделанных с учётом закона отражения света, вытекают следующие соотношения: \(\angle OAA'' = \angle OAB = \beta\); \(\angle AOB = \pi - 2\beta\). Следовательно, \(\angle O'OB = \pi - 3\beta\).

Луч света после отражения выйдет из сферы, если \(\angle O'OB > \pi - \alpha\), то есть если \(\beta < \alpha/3\). Отметим, что при тупых углах \(\alpha\) возможны случаи, когда все падающие лучи после отражения выйдут обратно. Такое произойдёт при \(\alpha/3 > \pi - \alpha\), то есть при \(\alpha > 3\pi/4\).

Искомая доля мощности пучка, вышедшего из сферы, равна отношению площадей, на которые приходятся пучок, претерпевающий отражение, и падающий пучок. В результате получаем: \[n = \left(\dfrac{\sin(\alpha/3)}{\sin\alpha}\right)^2.\] Этот ответ справедлив при \(\alpha \leqslant 3\pi/4\). При \(\alpha > 3\pi/4\) весь отражённый свет выйдет из сферы, то есть \(n = 1\).