Мираскоп

Найдите фокусное расстояние сферического зеркала через радиус кривизны и сравните с высотой зеркал. Куда попадают лучи от лягушки, прошедшие через отверстие?

Введем определения. Центр сферы, образующей зеркало (точка \(O\)), — оптический центр зеркала; прямая через центр перпендикулярно кругу, замыкающему зеркало, — главная оптическая ось; точка \(P\) ее пересечения с зеркалом — полюс; точка \(F\) посередине между \(O\) и \(P\) (на расстоянии \(R/2\) от них) — фокус (рис. 1).

Докажем три утверждения для лучей под малыми углами: 1) луч, проходящий через оптический центр, после отражения снова проходит через него; 2) луч, параллельный главной оптической оси, после отражения проходит через фокус; 3) углы между осью и падающим на полюс лучом и его отражением одинаковы. Пункты 1 и 3 точные. Для пункта 2 рассмотрим луч \(XC\), параллельный оси; треугольник \(AFC\) равнобедренный, и по теореме синусов для \(\triangle OCF\) при малых углах \(OF = R/2\). Фокусное расстояние \(F = R/2\) не зависит от угла, поэтому все параллельные лучи собираются в одной точке.

Изображение точечного источника, лежащего на главной оси дальше фокуса, — действительное; ближе фокуса — мнимое. Для источника дальше фокуса луч \(SC\) после отражения пересекает ось в точке \(S'\) — изображении источника (рис. 3); для источника ближе фокуса отраженный луч не пересекает ось, изображение мнимое, лежит за зеркалом (рис. 4).

В обоих случаях зеркало переворачивает изображение в направлении «право–лево» (рис. 5). В направлении «верх–низ» изображение источника дальше фокуса переворачивается, ближе фокуса — не переворачивается (луч, падающий на полюс, и изображения на рис. 6, 7).

Высоты зеркал равны \(R/4\), поэтому фокус верхнего зеркала попадает на самую нижнюю точку нижнего зеркала, а фокус нижнего — в середину отверстия верхнего зеркала. Если бы лягушка была точечной и находилась в фокусе верхнего зеркала, любой луч, прошедший через отверстие и отразившийся от лягушки и верхнего зеркала, шел бы параллельно оси. Нижнее зеркало собирает такой пучок в своем фокусе, т.е. в середине отверстия (рис. 8). Значит, все лучи от лягушки сходятся в середине отверстия, и иллюзия — действительное изображение лягушки.

Ориентация. Лягушка неточечная, и \(2h = R/2\): лягушка ближе к фокусу верхнего зеркала, поэтому верхнее зеркало создает мнимое изображение лягушки далеко за собой, перевернутое «верх–низ» и не перевернутое «право–лево». Нижнее зеркало дает от него действительное изображение, перевернутое в обоих направлениях (рис. 9). В итоге два зеркала создают действительное изображение лягушки, дважды перевернутое «верх–низ» (ориентация сохраняется) и перевернутое «право–лево».

Количественно. Пусть лягушка высотой \(\delta = R/8\) имеет поперечный размер \(a\) (отрезки \(AB\) и \(BF\) на рис. 10). Изображение \(A'\) точки \(A\) в верхнем зеркале строим по лучу через фокус (параллельный оси после отражения) и лучу на полюс. Из подобия треугольников \[\frac{a'}{a} = \frac{F}{\delta}, \qquad \frac{a'}{a} = \frac{f}{F-\delta}, \qquad f = B'P,\] где \(a'\) — размер изображения в верхнем зеркале, \(f\) — расстояние от зеркала до изображения. Отсюда \(f = \dfrac{F(F-\delta)}{\delta}\) и \(a' = \dfrac{F}{\delta}\,a\). Изображение этого изображения в нижнем зеркале строим так же. Получаем \[f_1 = \frac{F^2}{F-\delta}, \qquad \frac{a''}{a'} = \frac{\delta}{F-\delta}.\] Отсюда увеличение лягушки в двух зеркалах \[\frac{a''}{a} = \frac{F}{F-\delta}.\] Учитывая \(F = R/2\) и \(\delta = R/8\), получим \(\dfrac{a''}{a} = \dfrac{4}{3}\).