Росатом, 2022/23, отборочный этап, 11 класс

Подсказка

Выразите дальность и время полёта через угол бросания. Равенство дальностей даёт связь между углами.

Ответ

первое тело — под углом \(\mathrm{arctg}\dfrac{1}{2} \approx 26{,}6^\circ\), второе тело — под углом \(90^\circ - \mathrm{arctg}\dfrac{1}{2} \approx 63{,}4^\circ\).

Решение

Пусть первое тело бросили под углом \(\alpha\), второе — под углом \(\beta\). Дальность полёта \(l = \dfrac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}\). Чтобы дальности совпадали, нужно \(\alpha = \dfrac{\pi}{2} - \beta\). Времена полёта: \(t = \dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}\) и \(2t = \dfrac{2v_0\sin\beta}{g} = \dfrac{2v_0\cos\alpha}{g}\). Деля эти формулы друг на друга, получим \(\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{1}{2}\), т.е. \(\alpha = \mathrm{arctg}\dfrac{1}{2}\).

Подсказка

Запишите равновесие одного шара: тяжесть, натяжение, архимедова сила и сила реакции другого шара. Геометрию угла между веревкой и вертикалью найдите по расстояниям между центрами.

Ответ

\(T = \dfrac{mg\,(l+2R)}{\sqrt{l\,(l+4R)}}\);  \(N = \dfrac{2mgR}{\sqrt{l\,(l+4R)}}\).

Решение

На каждый шар действуют сила тяжести \(m\vec g\), сила натяжения веревки \(\vec T\), сила Архимеда \(\vec F_A\) и сила реакции \(\vec N\) со стороны второго тела, направленная горизонтально (см. рисунок; показаны силы, действующие только на один шар). Из условия равновесия \(T\cos\alpha + mg = F_A\), где \(\alpha\) — угол между веревкой и вертикалью. Свободно плавающие шары погружаются в воду на половину объема, поэтому сила Архимеда, действующая на полностью погруженный шар, вдвое больше его силы тяжести, и \(T\cos\alpha = mg\). Геометрически \[\cos\alpha = \frac{\sqrt{(l/2+R)^2-R^2}}{l/2+R} = \frac{\sqrt{l\,(l+4R)}}{l+2R}, \qquad T = \frac{mg\,(l+2R)}{\sqrt{l\,(l+4R)}}.\] Сила реакции равна горизонтальной проекции силы натяжения нити: \(N = T\sin\alpha = T\dfrac{R}{l/2+R} = \dfrac{2mgR}{\sqrt{l\,(l+4R)}}\).

Подсказка

Если напряжение на резисторе в одной из ветвей равно нулю, его можно удалить. Затем заменить амперметры проводами и найти токи через резисторы.

Ответ

\(I_1 = \dfrac{5U}{17R} = 2{,}9\) А;  \(I_2 = \dfrac{8U}{17R} = 4{,}7\) А.

Решение

Амперметры и провода не имеют сопротивления, поэтому напряжение на среднем резисторе нижней ветви равно нулю и ток через него не течет. Резистор можно удалить, не меняя токов в остальных участках (верхний рисунок). Показание амперметра \(A_1\) — ток \(I_1\), равный разности токов через два левых резистора верхней ветви и правый резистор верхней ветви; показание \(A_2\) — ток \(I_2\) через левый резистор нижней ветви. Заменив амперметры проводами, получим два последовательно соединенных участка: параллельное соединение резисторов \(R\), \(R\) и \(R\) с резистором \(R\) и параллельное соединение резисторов \(R\) и \(3R\) (нижний рисунок).

Общее сопротивление \(R_{об} = \dfrac{17R}{12}\), ток в цепи \(I = \dfrac{12U}{17R}\). Токи через резисторы: верхняя левая ветвь (резисторы \(R\) и \(R\)) \(I_{R-R} = \dfrac{4U}{17R}\); нижний левый резистор \(R\): \(I_{R,н} = \dfrac{8U}{17R}\); верхний правый резистор \(R\): \(I_{R,в} = \dfrac{9U}{17R}\); нижний правый резистор \(3R\): \(I_{3R} = \dfrac{3U}{17R}\). Отсюда \(I_1 = I_{R,в} - I_{R-R} = \dfrac{5U}{17R} = 2{,}9\) А, \(I_2 = I_{R,н} = \dfrac{8U}{17R} = 4{,}7\) А.

Подсказка

Максимальная скорость поршня достигается, когда давления в отсеках сравниваются.

Ответ

в отсеке с \(\nu\) молями \(v_1 = \dfrac{V}{1+2^{3/5}}\); в отсеке с \(2\nu\) молями \(V - v_1 = \dfrac{2^{3/5}\,V}{1+2^{3/5}}\).

Решение

Из-за разных концентраций молекул давления в отсеках отличаются вдвое, и поршень после освобождения начнет двигаться. Давление в отсеке с большим давлением убывает, в отсеке с меньшим растет. Поршень разгоняется до тех пор, пока давления не сравняются. Пусть в этот момент давление равно \(p\), а объемы отсеков \(v\) и \(V-v\), где \(v\) — объем отсека с меньшим количеством газа, \(V\) — объем всего сосуда за вычетом объема поршня. Пусть \(p_0\) — первоначальное давление в отсеке с меньшим количеством газа (давление в отсеке с большим количеством газа вдвое больше). Адиабатическое уравнение дает \[p\,v^{5/3} = p_0\left(\frac{V}{2}\right)^{5/3}, \qquad p\,(V-v)^{5/3} = 2p_0\left(\frac{V}{2}\right)^{5/3}.\] Деля уравнения друг на друга, получим \(\left(\dfrac{v}{V-v}\right)^{5/3} = \dfrac{1}{2}\). Отсюда \[v_1 = v = \frac{V}{1+2^{3/5}}, \qquad v_2 = V - v = \frac{2^{3/5}\,V}{1+2^{3/5}}.\]

Подсказка

Найдите фокусное расстояние сферического зеркала через радиус кривизны и сравните с высотой зеркал. Куда попадают лучи от лягушки, прошедшие через отверстие?

Ответ

(1) иллюзия — действительное изображение лягушки: лучи от нее после двух отражений сходятся в середине отверстия;  (2) двукратное отражение от зеркал меняет ориентацию «верх–низ» на исходную и переворачивает «право–лево»;  (3) \(\dfrac{a''}{a} = \dfrac{4}{3}\), иллюзия больше лягушки в \(\dfrac{4}{3}\) раза.

Решение

Введем определения. Центр сферы, образующей зеркало (точка \(O\)), — оптический центр зеркала; прямая через центр перпендикулярно кругу, замыкающему зеркало, — главная оптическая ось; точка \(P\) ее пересечения с зеркалом — полюс; точка \(F\) посередине между \(O\) и \(P\) (на расстоянии \(R/2\) от них) — фокус (рис. 1).

Докажем три утверждения для лучей под малыми углами: 1) луч, проходящий через оптический центр, после отражения снова проходит через него; 2) луч, параллельный главной оптической оси, после отражения проходит через фокус; 3) углы между осью и падающим на полюс лучом и его отражением одинаковы. Пункты 1 и 3 точные. Для пункта 2 рассмотрим луч \(XC\), параллельный оси; треугольник \(AFC\) равнобедренный, и по теореме синусов для \(\triangle OCF\) при малых углах \(OF = R/2\). Фокусное расстояние \(F = R/2\) не зависит от угла, поэтому все параллельные лучи собираются в одной точке.

Изображение точечного источника, лежащего на главной оси дальше фокуса, — действительное; ближе фокуса — мнимое. Для источника дальше фокуса луч \(SC\) после отражения пересекает ось в точке \(S'\) — изображении источника (рис. 3); для источника ближе фокуса отраженный луч не пересекает ось, изображение мнимое, лежит за зеркалом (рис. 4).

В обоих случаях зеркало переворачивает изображение в направлении «право–лево» (рис. 5). В направлении «верх–низ» изображение источника дальше фокуса переворачивается, ближе фокуса — не переворачивается (луч, падающий на полюс, и изображения на рис. 6, 7).

Высоты зеркал равны \(R/4\), поэтому фокус верхнего зеркала попадает на самую нижнюю точку нижнего зеркала, а фокус нижнего — в середину отверстия верхнего зеркала. Если бы лягушка была точечной и находилась в фокусе верхнего зеркала, любой луч, прошедший через отверстие и отразившийся от лягушки и верхнего зеркала, шел бы параллельно оси. Нижнее зеркало собирает такой пучок в своем фокусе, т.е. в середине отверстия (рис. 8). Значит, все лучи от лягушки сходятся в середине отверстия, и иллюзия — действительное изображение лягушки.

Ориентация. Лягушка неточечная, и \(2h = R/2\): лягушка ближе к фокусу верхнего зеркала, поэтому верхнее зеркало создает мнимое изображение лягушки далеко за собой, перевернутое «верх–низ» и не перевернутое «право–лево». Нижнее зеркало дает от него действительное изображение, перевернутое в обоих направлениях (рис. 9). В итоге два зеркала создают действительное изображение лягушки, дважды перевернутое «верх–низ» (ориентация сохраняется) и перевернутое «право–лево».

Количественно. Пусть лягушка высотой \(\delta = R/8\) имеет поперечный размер \(a\) (отрезки \(AB\) и \(BF\) на рис. 10). Изображение \(A'\) точки \(A\) в верхнем зеркале строим по лучу через фокус (параллельный оси после отражения) и лучу на полюс. Из подобия треугольников \[\frac{a'}{a} = \frac{F}{\delta}, \qquad \frac{a'}{a} = \frac{f}{F-\delta}, \qquad f = B'P,\] где \(a'\) — размер изображения в верхнем зеркале, \(f\) — расстояние от зеркала до изображения. Отсюда \(f = \dfrac{F(F-\delta)}{\delta}\) и \(a' = \dfrac{F}{\delta}\,a\). Изображение этого изображения в нижнем зеркале строим так же. Получаем \[f_1 = \frac{F^2}{F-\delta}, \qquad \frac{a''}{a'} = \frac{\delta}{F-\delta}.\] Отсюда увеличение лягушки в двух зеркалах \[\frac{a''}{a} = \frac{F}{F-\delta}.\] Учитывая \(F = R/2\) и \(\delta = R/8\), получим \(\dfrac{a''}{a} = \dfrac{4}{3}\).