Тело с грузом на нити

Из условия задачи ясно, что оба тела должны двигаться. Проведём координатные оси \(X\) и \(Y\) так, как указано на рисунке 1.67, и рассмотрим силы, действующие на тела в данной системе.

На тело массой \(m\) действуют: сила тяжести \(m\vec g\), сила натяжения нити \(\vec T_1\), направленная вверх и равная по величине \(T\), сила реакции \(\vec N_1\) со стороны тела массой \(M\) и сила трения \(\vec F_{\text{тр}}\). Тогда второй закон Ньютона для тела \(m\) можно записать так: \[m\vec a_1 = m\vec g + \vec T_1 + \vec N_1 + \vec F_{\text{тр}}.\] На тело массой \(M\) действуют: сила тяжести \(M\vec g\), сила реакции со стороны горизонтальной плоскости \(\vec N_2\), сила натяжения нити \(-\vec T_1\), направленная вниз и равная по величине \(T\), сила трения \(-\vec F_{\text{тр}}\), две силы натяжения нити \(\vec T_2\), направленные вправо и равные по величине \(T\), и сила реакции \(-\vec N_1\) со стороны тела массой \(m\). Второй закон Ньютона для тела \(M\) имеет вид: \[M\vec a_2 = M\vec g + \vec N_2 + (-\vec T_1) + (-\vec F_{\text{тр}}) + 2\vec T_2 + (-\vec N_1).\] Запишем векторные уравнения второго закона Ньютона для тел в проекциях на координатные оси с учётом того, что оба тела двигаются вдоль оси \(X\) с одинаковым ускорением \(a\): \[ma_{1x} = N_1 = ma;\qquad Ma_{2x} = 2T + (-N_1) = Ma;\] \[ma_{1y} = -mg + T + F_{\text{тр}};\qquad Ma_{2y} = -Mg + N_2 + (-T) + (-F_{\text{тр}}) = 0.\] Складывая два верхних уравнения, получим: \(ma + Ma = 2T\), и \(N_1 = ma = \dfrac{2m}{m + M}T\). Поскольку тело \(m\) скользит по телу \(M\), то сила трения \(F_{\text{тр}} = \mu N_1\), откуда \[ma_{1y} = -mg + T + \mu\dfrac{2m}{m + M}T.\] Так как нить нерастяжима, то величина смещения тела \(m\) по вертикали будет вдвое больше, чем смещение обоих тел в горизонтальном направлении, а значит, вертикальная составляющая ускорения тела \(m\) по величине также вдвое больше горизонтальной составляющей. Следовательно, \(a_{1y} = -2a\), и \[ma_{1y} = -2ma = -\dfrac{4m}{m + M}T = T - mg + \mu\dfrac{2m}{m + M}T.\] Отсюда находим силу натяжения нити \(T\): \[T = \dfrac{m + M}{M + (5 + 2\mu)m}\,mg,\] и для ускорения тела \(M\) получаем \[a = \dfrac{2T}{m + M} = \dfrac{2mg}{M + (5 + 2\mu)m}.\]