Двойник и ёлочный шарик

Пусть рост отражающегося человека равен \(H \sim 2\) м, а размер его изображения \(h\) (\(h \ll H\)). Для простоты рассуждений будем считать, что центр ёлочного шарика расположен на уровне половины роста человека. На рисунке 4.11 приведён ход лучей, формирующих изображение.

Так как \(D \ll L\), то угол \(\varphi\) между лучами, формирующими изображения головы и ног человека, очень мал (изображение головы лежит на пересечении продолжений лучей 1 и 3, а ног — 2 и 4). Поэтому углы \(\alpha\) и \(\beta\) примерно одинаковы, а это означает, что изображение человека расположено на расстоянии \(\approx D/4\) от центра шарика. Из подобия треугольников следует отношение: \[\dfrac{H/2}{L} = \dfrac{h/2}{D/4},\quad\text{откуда}\quad h = \dfrac{HD}{4L}.\] Так как \(D \ll L\), то расстояние от человека до изображения примерно равно \(L\). Поэтому угловой размер изображения человека в шарике \[\varphi \approx \dfrac{h\cos\alpha}{L/\cos\alpha} = \dfrac{HD}{4L^2}\cos^2\alpha = \dfrac{HD}{4L^2}\left(\dfrac{L}{\sqrt{L^2 + (H/2)^2}}\right)^2 = \dfrac{HD}{4L^2 + H^2}.\] Для того, чтобы человек видел своего двойника таким же маленьким, то есть под тем же углом, двойник должен стоять на таком расстоянии \(x\) от человека, чтобы выполнялось соотношение: \(\varphi\cdot x \approx H\). Отсюда \[x \approx \dfrac{H}{\varphi} = \dfrac{4L^2 + H^2}{D} = 200\text{ м}.\]