Песок на колеблющейся пластине

Обозначим амплитуду колебаний пластины через \(A\). Песчинка после удара отрывается от пластины при её движении вверх на высоте \(h = A\sin(2\pi ft)\) над средним положением пластины и приобретает скорость \(v = A\cdot 2\pi f\cos(2\pi ft)\), которая равна скорости пластины. В момент отрыва песчинки ускорение пластины направлено вниз и равно по величине \(A(2\pi f)^2\sin(2\pi ft) = g\). Обозначим через \(\varphi\) величину \(2\pi ft\). Тогда \(\sin\varphi = \dfrac{g}{A(2\pi f)^2}\). Заметим, что, поскольку \(\sin\varphi \leqslant 1\), то искомая амплитуда \(A\) должна удовлетворять условию \(A \geqslant A_0 = \dfrac{g}{(2\pi f)^2} \approx 0{,}25\cdot 10^{-3}\) мм. При меньших значениях амплитуды песчинка не будет отрываться от пластины и подпрыгивать, что противоречит условию задачи.

Высота, на которую поднимается песчинка после отрыва от пластины, равна: \[H = h + \dfrac{v^2}{2g} = A\sin\varphi + \dfrac{A^2(2\pi f)^2\cos^2\varphi}{2g} = A\sin\varphi + \dfrac{A^2(2\pi f)^2(1 - \sin^2\varphi)}{2g} =\] \[= \dfrac{g}{(2\pi f)^2} + \dfrac{A^2(2\pi f)^2\left(1 - \dfrac{g^2}{A^2(2\pi f)^4}\right)}{2g} = \dfrac{g}{2(2\pi f)^2} + \dfrac{A^2(2\pi f)^2}{2g}.\] Отсюда следует, что \[A = \dfrac{\sqrt{2gH - \dfrac{g^2}{(2\pi f)^2}}}{2\pi f} \approx \dfrac{\sqrt{2gH}}{2\pi f} \approx 5\cdot 10^{-5}\text{ м} = 0{,}05\text{ мм},\] так как \(H \gg A_0\). Найденное значение амплитуды \(A\) значительно превышает критическое значение \(A_0\), то есть при колебаниях пластины с такой амплитудой песчинки действительно будут подпрыгивать.