Зеркальный шарик в пучке

Крайний луч пучка отражается от шарика и отклоняется на удвоенный угол между нормалью и осью пучка; по отклонению на стене найдите этот угол.

Диаметр шарика примерно \(2\) см (немного меньше).

9-5. Небольшая тень по центру означает, что шарик имеет размеры, ненамного превышающие диаметр пучка света (подумайте почему?). Рассмотрим крайний луч. Для него \(\beta\) - угол падения и \(\alpha + \beta = \pi / 2\).

Следовательно, после отражения луч отклонится на угол \(2\alpha\), причем

\[\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{\Delta r}{x \sin \alpha + l}.\]

Ясно, что поскольку \(\Delta r = 1\text{ см}\), а \(l = 1\text{ м}\), то угол \(\alpha\) - мал, и \(x \sin \alpha\) можно опустить в знаменателе, тогда

\[\operatorname { t g } 2 \alpha \approx 2 \alpha \approx \Delta r / l ; \Rightarrow \alpha \approx \Delta r / 2 l \approx 0{,}5 \cdot 10^{-2}\]

Как видно из рисунка

\[x = r _ { l } \, c o s \, \alpha \approx r _ { l } ( 1 - \alpha ^ { 2 } \, / \, 2 )\]

Таким образом диаметр шарика примерно равен \(2 \text{см}\) (немного меньше).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.