Два камешка с башни

Перейдите в систему отсчёта второго камешка: первый движется в ней равномерно, вертикально вниз со скоростью \(g\Delta t\).

Если \(\Delta t<\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}\): наименьшее расстояние \(v_0\Delta t\cos\alpha\) в момент \(t=\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}-\dfrac{\Delta t}{2}\) после броска второго камешка. Если \(\Delta t>\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}\): наименьшее расстояние — начальное, \(\sqrt{(v_0\Delta t\cos\alpha)^2+\left(v_0\Delta t\sin\alpha-\frac{g\Delta t^2}{2}\right)^2}\), в момент \(t=0\) (вылет второго камешка).

9-4. Выберем начало системы отсчета на башне, задачу будем решать в векторном виде. К моменту вылета второго камешка первый совершит перемещение

\[\Delta \vec { r } _ { 0 } = \vec { v } _ { 0 } \Delta t + \frac { \vec { g } \Delta t ^ { 2 } } { 2 }\]

и будет двигаться со скоростью

\[\vec { v } = \vec { v } _ { 0 } + \vec { g } \Delta t \, .\]

Перемещения камешков после бросания второго камешка запишутся следующим образом

\[\Delta \vec { r } _ { 1 } ( t ) = \vec { v } _ { 0 } ( t + \Delta t ) + \frac { \vec { g } ( t + \Delta t ) ^ { 2 } } { 2 } \, ,\]

\[\Delta \vec { r } _ { 2 } ( t ) = \vec { v } _ { 0 } t + \frac { \vec { g } t ^ { 2 } } { 2 } \, .\]

Перейдем в систему отсчета, связанную со вторым камешком. Тогда относительное положение первого камешка задается вектором

\[\vec { S } = \Delta \vec { r } _ { 1 } ( t ) - \Delta \vec { r } _ { 2 } ( t ) = \vec { v } _ { 0 } \Delta t + \frac { \vec { g } \Delta t ^ { 2 } } { 2 } + \vec { g } \Delta t \cdot t = \Delta \vec { r } _ { 0 } + \vec { g } \Delta t \cdot t \, ,\]

т.е. это движение вертикально вниз со скоростью \(\vec{g}\Delta t\). Поэтому

1) если \(\Delta t\) таково, что первый камушек не успел опуститься ниже горизонта точки бросания (точка \(A_1\)), тогда наименьшее расстояние будет равно

\[CB_1 = (\Delta \vec{r}_0)_x = \left( \vec{v}_0 \Delta t + \frac{\vec{g} \Delta t^2}{2} \right)_x = v_0 \cos \alpha \Delta t.\tag{1}\]

Оно будет достигнуто в момент, когда оба шарика будут на одной высоте, т.е.

\[S_y = 0 = (\Delta \vec{r}_0)_y - g \Delta t \cdot t = v_0 \sin \alpha \Delta t - \frac{g \Delta t^2}{2} - g \Delta t \cdot t, \quad t = \frac{v_0 \sin \alpha}{g} - \frac{\Delta t}{2} .\tag{2}\]

2) если \(\Delta t\) таково, что первый камушек опустился ниже горизонта бросания (\(A_2\)), наименьшим расстоянием будет начальное, т.е.

\[OA_2 = \vert \Delta \vec{r}_0\vert = \sqrt{(v_0 \cos \alpha \Delta t)^2 + \left( v_0 \sin \alpha \Delta t - \frac{g \Delta t^2}{2} \right)^2},\tag{3}\]

а момент времени \(t = 0\).

\[t = 0.\tag{4}\]

Условие выбора ответа следует из (2): если \(\Delta t > \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g}\), то ответ - (3),(4),

если \(\Delta t < \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g}\), то - (1),(2).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.